Đề bài: Tìm các cặp số nguyên không âm \((a;b)\) thỏa mãn \((ab-5)^2-a^2=b(a+b)\).

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, chúng ta sẽ viết lại phương trình đã cho và biến đổi nó.
Phương trình đã cho là:
\( (ab-5)^2-a^2=b(a+b) \)

Khai triển các biểu thức ở cả hai vế:
Vế trái: \( (ab-5)^2-a^2 = (ab)^2 – 2 \cdot ab \cdot 5 + 5^2 – a^2 = a^2b^2 – 10ab + 25 – a^2 \)
Vế phải: \( b(a+b) = ab + b^2 \)

Vậy, phương trình trở thành:
\( a^2b^2 – 10ab + 25 – a^2 = ab + b^2 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa phương trình về dạng tổng quát:
\( a^2b^2 – a^2 – b^2 – 10ab – ab + 25 = 0 \)
\( a^2b^2 – a^2 – b^2 – 11ab + 25 = 0 \)

Đây là một phương trình Diophantine (phương trình với nghiệm nguyên). Để giải quyết nó, chúng ta có thể coi đây là một phương trình bậc hai theo một biến (chẳng hạn \(a\)) và sử dụng điều kiện có nghiệm nguyên của phương trình bậc hai (delta phải là số chính phương).
Chúng ta sắp xếp lại phương trình theo \(a\):
\( a^2(b^2-1) – 11ba – b^2 + 25 = 0 \)

Trường hợp 1: Nếu \( b^2-1 = 0 \).
Vì \(b\) là số nguyên không âm, nên \( b^2=1 \Rightarrow b=1 \).
Thay \(b=1\) vào phương trình:
\( a^2(1^2-1) – 11(1)a – 1^2 + 25 = 0 \)
\( a^2(0) – 11a – 1 + 25 = 0 \)
\( -11a + 24 = 0 \)
\( 11a = 24 \)
\( a = \frac{24}{11} \)
Giá trị này không phải là số nguyên, nên trường hợp \(b=1\) không cho nghiệm thỏa mãn.

Trường hợp 2: Nếu \( b^2-1 \ne 0 \). Tức là \(b \ne 1\).
Để phương trình bậc hai theo \(a\) có nghiệm nguyên, biệt thức \(\Delta_a\) (hoặc \(D_a\)) phải là một số chính phương.
\(\Delta_a = (-11b)^2 – 4(b^2-1)(-b^2+25) \)
\(\Delta_a = 121b^2 – 4(-b^4 + 25b^2 + b^2 – 25) \)
\(\Delta_a = 121b^2 – 4(-b^4 + 26b^2 – 25) \)
\(\Delta_a = 121b^2 + 4b^4 – 104b^2 + 100 \)
\(\Delta_a = 4b^4 + 17b^2 + 100 \)

Chúng ta cần \(\Delta_a\) là một số chính phương. Đặt \(\Delta_a = k^2\) với \(k \in \mathbb{N}\).
Xét giá trị của \(k^2\) so với các số chính phương lân cận có chứa \(b^4\):
Chúng ta có \( (2b^2)^2 = 4b^4 \).
Xét \( (2b^2+1)^2 = 4b^4 + 4b^2 + 1 \)
Xét \( (2b^2+2)^2 = 4b^4 + 8b^2 + 4 \)
Xét \( (2b^2+3)^2 = 4b^4 + 12b^2 + 9 \)
Xét \( (2b^2+4)^2 = 4b^4 + 16b^2 + 16 \)
Xét \( (2b^2+5)^2 = 4b^4 + 20b^2 + 25 \)

So sánh \(\Delta_a = 4b^4 + 17b^2 + 100\) với các biểu thức trên:
Ta thấy \( (2b^2+4)^2 = 4b^4 + 16b^2 + 16 \).
Vì \(b \ge 0\), nên \( 17b^2 + 100 > 16b^2 + 16 \) khi và chỉ khi \( b^2 > -84 \), điều này luôn đúng.
Do đó, \( \Delta_a = 4b^4 + 17b^2 + 100 > (2b^2+4)^2 \) với mọi \(b \ge 0\).

Tiếp theo, ta so sánh \(\Delta_a\) với \( (2b^2+5)^2 \):
\( (2b^2+5)^2 = 4b^4 + 20b^2 + 25 \)
Nếu \( 4b^4 + 17b^2 + 100 < 4b^4 + 20b^2 + 25 \): \( 17b^2 + 100 < 20b^2 + 25 \) \( 75 < 3b^2 \) \( 25 < b^2 \) \( b > 5 \) (vì \(b \ge 0\))

Điều này có nghĩa là, khi \(b > 5\), ta có:
\( (2b^2+4)^2 < \Delta_a < (2b^2+5)^2 \) Vì \(\Delta_a\) nằm giữa hai số chính phương liên tiếp, nên \(\Delta_a\) không thể là số chính phương khi \(b > 5\).
Do đó, chúng ta chỉ cần kiểm tra các giá trị của \(b\) trong khoảng \(b \in \{0, 2, 3, 4, 5\}\) (nhớ rằng \(b=1\) đã bị loại).

Bây giờ chúng ta sẽ xét từng trường hợp của \(b\):

Kiểm tra các giá trị của \(b\):

1. Với \(b=0\):
Thay \(b=0\) vào phương trình gốc:
\( (a \cdot 0 – 5)^2 – a^2 = 0 \cdot (a+0) \)
\( (-5)^2 – a^2 = 0 \)
\( 25 – a^2 = 0 \)
\( a^2 = 25 \)
Vì \(a\) là số nguyên không âm, nên \(a=5\).
Ta được cặp số \((a;b) = \mathbf{(5;0)}\).

2. Với \(b=2\):
Thay \(b=2\) vào phương trình \( a^2(b^2-1) – 11ba – b^2 + 25 = 0 \):
\( a^2(2^2-1) – 11(2)a – 2^2 + 25 = 0 \)
\( 3a^2 – 22a – 4 + 25 = 0 \)
\( 3a^2 – 22a + 21 = 0 \)
Tính biệt thức \(\Delta = (-22)^2 – 4(3)(21) = 484 – 252 = 232\).
Vì \(232\) không phải là số chính phương, nên không có giá trị \(a\) nguyên.

3. Với \(b=3\):
Thay \(b=3\) vào phương trình:
\( a^2(3^2-1) – 11(3)a – 3^2 + 25 = 0 \)
\( 8a^2 – 33a – 9 + 25 = 0 \)
\( 8a^2 – 33a + 16 = 0 \)
Tính biệt thức \(\Delta = (-33)^2 – 4(8)(16) = 1089 – 512 = 577\).
Vì \(577\) không phải là số chính phương, nên không có giá trị \(a\) nguyên.

4. Với \(b=4\):
Thay \(b=4\) vào phương trình:
\( a^2(4^2-1) – 11(4)a – 4^2 + 25 = 0 \)
\( 15a^2 – 44a – 16 + 25 = 0 \)
\( 15a^2 – 44a + 9 = 0 \)
Tính biệt thức \(\Delta = (-44)^2 – 4(15)(9) = 1936 – 540 = 1396\).
Vì \(1396\) không phải là số chính phương, nên không có giá trị \(a\) nguyên.

5. Với \(b=5\):
Thay \(b=5\) vào phương trình:
\( a^2(5^2-1) – 11(5)a – 5^2 + 25 = 0 \)
\( 24a^2 – 55a – 25 + 25 = 0 \)
\( 24a^2 – 55a = 0 \)
\( a(24a – 55) = 0 \)
Từ đây ta có hai trường hợp:
– \(a = 0\).
– \(24a – 55 = 0 \Rightarrow 24a = 55 \Rightarrow a = \frac{55}{24}\) (không phải số nguyên).
Vì \(a\) là số nguyên không âm, nên \(a=0\).
Ta được cặp số \((a;b) = \mathbf{(0;5)}\).

Vậy, các cặp số nguyên không âm \((a;b)\) thỏa mãn phương trình là \((5;0)\) và \((0;5)\).

Chúc các em học tốt!