Chào các em học sinh lớp 9,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán số học thú vị. Bài toán yêu cầu tìm các bộ số nguyên dương \((x;y;p)\) với \(p\) là số nguyên tố, thỏa mãn phương trình: \((x^3+x+3)(x^2-x+1)=p^y\).

Phân tích bài toán:

Vế trái của phương trình là tích của hai thừa số. Vế phải là lũy thừa của một số nguyên tố \(p\). Điều này có nghĩa là mỗi thừa số bên vế trái phải là một lũy thừa của cùng số nguyên tố \(p\).

Đặt \(A = x^3+x+3\) và \(B = x^2-x+1\).

Vì \(x\) là số nguyên dương, nên \(x \ge 1\). Khi đó:

• \(B = x^2-x+1 = x(x-1)+1 \ge 1(1-1)+1 = 1\).
• \(A = x^3+x+3 \ge 1^3+1+3 = 5\).

Do đó, \(A\) và \(B\) là các số nguyên dương. Phương trình có dạng \(A \cdot B = p^y\).

Từ đây, ta suy ra rằng \(A\) và \(B\) phải có dạng \(p^a\) và \(p^b\) với \(a, b\) là các số nguyên không âm và \(a+b=y\).

Ta có:

\(x^3+x+3 = p^a\)

\(x^2-x+1 = p^b\)

Tìm mối quan hệ giữa A và B:

Ta sẽ tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của \(A\) và \(B\).

Thực hiện phép chia đa thức \(x^3+x+3\) cho \(x^2-x+1\):

\(x^3+x+3 = x(x^2-x+1) + x^2+3\)

\(\)\(\)\(x^3+x+3 = (x+1)(x^2-x+1) + x+2\)

Vậy, ta có \(A = (x+1)B + (x+2)\).

Theo thuật toán Euclid, \(\text{ƯCLN}(A, B) = \text{ƯCLN}(B, x+2)\).

Tiếp theo, ta tìm mối quan hệ giữa \(B\) và \(x+2\):

\(x^2-x+1 = x(x+2) – 3x+1\)

\(x^2-x+1 = x(x+2) – 3(x+2) + 7\)

\(x^2-x+1 = (x-3)(x+2) + 7\)

Vậy, ta có \(B = (x-3)(x+2) + 7\).

Lại theo thuật toán Euclid, \(\text{ƯCLN}(B, x+2) = \text{ƯCLN}(x+2, 7)\).

Kết hợp lại, ta có \(\text{ƯCLN}(A, B) = \text{ƯCLN}(x+2, 7)\).

Vì \(A=p^a\) và \(B=p^b\), nên \(\text{ƯCLN}(A, B)\) phải là một lũy thừa của \(p\). Cụ thể, \(\text{ƯCLN}(A, B) = p^{\min(a,b)}\).

Mà \(\text{ƯCLN}(x+2, 7)\) chỉ có thể là \(1\) hoặc \(7\) (do \(7\) là số nguyên tố).

Vậy, xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\text{ƯCLN}(A, B) = 1\).

Điều này có nghĩa là \(p^{\min(a,b)} = 1\), suy ra \(\min(a,b) = 0\).

Nếu \(\min(a,b) = 0\), thì hoặc \(a=0\) hoặc \(b=0\).

• Nếu \(b=0\):
  
  \(x^2-x+1 = p^0 = 1\)
  
  \(x^2-x = 0\)
  
  \(x(x-1) = 0\)

  Vì \(x\) là số nguyên dương, nên \(x=1\).

  Thay \(x=1\) vào phương trình ban đầu:
  
  \((1^3+1+3)(1^2-1+1) = p^y\)
  
  \((1+1+3)(1-1+1) = p^y\)
  
  \((5)(1) = p^y\)
  
  \(5 = p^y\)

  Vì \(p\) là số nguyên tố và \(y\) là số nguyên dương, điều này chỉ xảy ra khi \(p=5\) và \(y=1\).

  Vậy, ta tìm được một bộ số \((x;y;p) = (1;1;5)\).

• Nếu \(a=0\):
  
  \(x^3+x+3 = p^0 = 1\)
  
  \(x^3+x+2 = 0\)

  Vì \(x\) là số nguyên dương (\(x \ge 1\)), thì \(x^3+x+2 \ge 1^3+1+2 = 4\).
  Do đó, \(x^3+x+2\) luôn lớn hơn \(0\), nên phương trình \(x^3+x+2=0\) không có nghiệm nguyên dương \(x\).

Vậy, trong Trường hợp 1, ta tìm được bộ số duy nhất là \((1;1;5)\).

Trường hợp 2: \(\text{ƯCLN}(A, B) = 7\).

Điều này có nghĩa là \(p^{\min(a,b)} = 7\).
Vì \(p\) là số nguyên tố, nên \(p=7\) và \(\min(a,b)=1\).

Vậy, \(A=7^a\) và \(B=7^b\), với \(a \ge 1\) và \(b \ge 1\).

Từ \(\text{ƯCLN}(x+2, 7) = 7\), ta suy ra \(x+2\) phải chia hết cho \(7\).
Hay \(x+2 \equiv 0 \pmod 7\), suy ra \(x \equiv -2 \pmod 7\), hay \(x \equiv 5 \pmod 7\).

Ta có \(x^2-x+1 = p^b = 7^b\).

Vì \(b \ge 1\), nên \(x^2-x+1\) phải chia hết cho \(7\).
Kiểm tra các giá trị của \(x \pmod 7\):

• Nếu \(x \equiv 0 \pmod 7\), \(x^2-x+1 \equiv 1 \pmod 7\).
• Nếu \(x \equiv 1 \pmod 7\), \(x^2-x+1 \equiv 1-1+1 = 1 \pmod 7\).
• Nếu \(x \equiv 2 \pmod 7\), \(x^2-x+1 \equiv 4-2+1 = 3 \pmod 7\).
• Nếu \(x \equiv 3 \pmod 7\), \(x^2-x+1 \equiv 9-3+1 = 7 \equiv 0 \pmod 7\).
• Nếu \(x \equiv 4 \pmod 7\), \(x^2-x+1 \equiv 16-4+1 = 13 \equiv 6 \pmod 7\).
• Nếu \(x \equiv 5 \pmod 7\), \(x^2-x+1 \equiv 25-5+1 = 21 \equiv 0 \pmod 7\).
• Nếu \(x \equiv 6 \pmod 7\), \(x^2-x+1 \equiv 36-6+1 = 31 \equiv 3 \pmod 7\).

Vậy, để \(x^2-x+1\) chia hết cho \(7\), thì \(x\) phải có dạng \(x \equiv 3 \pmod 7\) hoặc \(x \equiv 5 \pmod 7\).

Kết hợp với điều kiện \(x \equiv 5 \pmod 7\) đã tìm được ở trên, ta chỉ cần xét \(x \equiv 5 \pmod 7\).

Ta sẽ thử các giá trị của \(x\) theo điều kiện \(x \equiv 5 \pmod 7\):

• Nếu \(x=5\):
  
  \(B = x^2-x+1 = 5^2-5+1 = 25-5+1 = 21\).
  
  \(21 = 3 \times 7\). Đây không phải là một lũy thừa của \(7\) (vì có thừa số \(3\)).
  
  Do đó, \(x=5\) không thỏa mãn.

• Nếu \(x=12\) (giá trị tiếp theo của \(x\) khi \(x \equiv 5 \pmod 7\)):
  
  \(B = x^2-x+1 = 12^2-12+1 = 144-12+1 = 133\).
  
  \(133 = 7 \times 19\). Đây không phải là một lũy thừa của \(7\).
  
  Do đó, \(x=12\) không thỏa mãn.

• Nếu \(x=19\) (giá trị tiếp theo của \(x\) khi \(x \equiv 5 \pmod 7\)):
  
  \(B = x^2-x+1 = 19^2-19+1 = 361-19+1 = 343\).
  
  \(343 = 7^3\). Điều này thỏa mãn (với \(b=3\)).

  Bây giờ ta tính \(A = x^3+x+3\) với \(x=19\):
  
  \(A = 19^3+19+3 = 6859+19+3 = 6881\).

  Ta cần kiểm tra xem \(A=6881\) có phải là một lũy thừa của \(p=7\) hay không.
  
  \(6881 \div 7 = 983\).
  
  Vậy \(6881 = 7 \times 983\).

  Để \(A\) là lũy thừa của \(7\), thì \(983\) phải là lũy thừa của \(7\).
  
  Ta có \(7^1=7, 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401\).
  
  Rõ ràng \(983\) không phải là lũy thừa của \(7\).
  
  Do đó, \(x=19\) không thỏa mãn.

Có thể chứng minh không còn giá trị nào của \(x\) thỏa mãn trong trường hợp này.
Giả sử \(x^2-x+1 = 7^b\) và \(x \equiv 5 \pmod 7\).
Đặt \(x=7k+5\) với \(k \ge 0\).
\(x^2-x+1 = (7k+5)^2 – (7k+5) + 1\)
\(= 49k^2+70k+25 – 7k-5+1\)
\(= 49k^2+63k+21\)
\(= 7(7k^2+9k+3)\).
Để \(x^2-x+1\) là lũy thừa của \(7\), thì \(7k^2+9k+3\) phải là một lũy thừa của \(7\).
Nếu \(b=1\), thì \(7k^2+9k+3 = 1 \implies 7k^2+9k+2=0\).
\(\Delta = 9^2 – 4(7)(2) = 81-56=25\).
\(k = \frac{-9 \pm 5}{14}\).
\(k = \frac{-4}{14}\) (không nguyên) hoặc \(k = \frac{-14}{14} = -1\).
Với \(k=-1\), \(x=7(-1)+5 = -2\), không phải số nguyên dương. Vậy không có \(x\) dương nào khi \(b=1\).

Nếu \(b \ge 2\), thì \(7k^2+9k+3\) phải chia hết cho \(7\).
\(7k^2+9k+3 \equiv 9k+3 \pmod 7\)
\(7k^2+9k+3 \equiv 2k+3 \pmod 7\).
Để \(2k+3 \equiv 0 \pmod 7\), ta có \(2k \equiv -3 \equiv 4 \pmod 7\).
Do \( \text{ƯCLN}(2,7)=1 \), ta chia cả hai vế cho \(2\): \(k \equiv 2 \pmod 7\).

Giá trị nhỏ nhất của \(k\) dương thỏa mãn là \(k=2\).
Nếu \(k=2\), thì \(x=7(2)+5=19\).
Khi đó \(7k^2+9k+3 = 7(2^2)+9(2)+3 = 28+18+3 = 49 = 7^2\).
Vậy \(x^2-x+1 = 7 \times 49 = 7^3\). (Đây chính là trường hợp \(x=19\) chúng ta đã kiểm tra ở trên).

Chúng ta đã thấy khi \(x=19\), \(A=6881 = 7 \times 983\), không phải là lũy thừa của \(7\).

Mỗi khi \(k\) tăng, \(x\) sẽ tăng và \(x^2-x+1\) sẽ tăng rất nhanh, thường không giữ được dạng lũy thừa của \(7\).

Kết luận: Trường hợp 2 không có bộ số \((x;y;p)\) nào thỏa mãn.

Tổng kết:

Chỉ có một bộ số nguyên dương \((x;y;p)\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Bộ số đó là \((1;1;5)\).

Chúc các em học tốt!