Chào các em học sinh lớp 7!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chứng minh thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\), biểu thức \(n^2 + n + 2\) không chia hết cho 3.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xét các trường hợp.

Phân tích bài toán:

Khi xét tính chia hết cho 3 của một số nguyên \(n\), chúng ta chỉ cần quan tâm đến số dư của \(n\) khi chia cho 3. Có ba trường hợp có thể xảy ra:

1. \(n\) chia cho 3 dư 0.
2. \(n\) chia cho 3 dư 1.
3. \(n\) chia cho 3 dư 2.

Chúng ta sẽ lần lượt xét từng trường hợp này.

Trường hợp 1: \(n\) chia cho 3 dư 0.

Nếu \(n\) chia cho 3 dư 0, điều đó có nghĩa là \(n\) có dạng \(n = 3k\), với \(k\) là một số nguyên.

Thay \(n = 3k\) vào biểu thức \(n^2 + n + 2\), ta được:

\( (3k)^2 + (3k) + 2 \)

\( = 9k^2 + 3k + 2 \)

\( = 3(3k^2 + k) + 2 \)

Ta thấy rằng \(3k^2 + k\) là một số nguyên. Do đó, \(3(3k^2 + k)\) chia hết cho 3.

Vì vậy, \(3(3k^2 + k) + 2\) sẽ có số dư là 2 khi chia cho 3.

Kết luận cho trường hợp 1: \(n^2 + n + 2\) không chia hết cho 3.

Trường hợp 2: \(n\) chia cho 3 dư 1.

Nếu \(n\) chia cho 3 dư 1, điều đó có nghĩa là \(n\) có dạng \(n = 3k + 1\), với \(k\) là một số nguyên.

Thay \(n = 3k + 1\) vào biểu thức \(n^2 + n + 2\), ta được:

\( (3k + 1)^2 + (3k + 1) + 2 \)

\( = (9k^2 + 6k + 1) + (3k + 1) + 2 \)

\( = 9k^2 + 6k + 1 + 3k + 1 + 2 \)

\( = 9k^2 + 9k + 4 \)

\( = 9k^2 + 9k + 3 + 1 \)

\( = 3(3k^2 + 3k + 1) + 1 \)

Ta thấy rằng \(3k^2 + 3k + 1\) là một số nguyên. Do đó, \(3(3k^2 + 3k + 1)\) chia hết cho 3.

Vì vậy, \(3(3k^2 + 3k + 1) + 1\) sẽ có số dư là 1 khi chia cho 3.

Kết luận cho trường hợp 2: \(n^2 + n + 2\) không chia hết cho 3.

Trường hợp 3: \(n\) chia cho 3 dư 2.

Nếu \(n\) chia cho 3 dư 2, điều đó có nghĩa là \(n\) có dạng \(n = 3k + 2\), với \(k\) là một số nguyên.

Thay \(n = 3k + 2\) vào biểu thức \(n^2 + n + 2\), ta được:

\( (3k + 2)^2 + (3k + 2) + 2 \)

\( = (9k^2 + 12k + 4) + (3k + 2) + 2 \)

\( = 9k^2 + 12k + 4 + 3k + 2 + 2 \)

\( = 9k^2 + 15k + 8 \)

\( = 9k^2 + 15k + 6 + 2 \)

\( = 3(3k^2 + 5k + 2) + 2 \)

Ta thấy rằng \(3k^2 + 5k + 2\) là một số nguyên. Do đó, \(3(3k^2 + 5k + 2)\) chia hết cho 3.

Vì vậy, \(3(3k^2 + 5k + 2) + 2\) sẽ có số dư là 2 khi chia cho 3.

Kết luận cho trường hợp 3: \(n^2 + n + 2\) không chia hết cho 3.

Tổng kết:

Qua cả ba trường hợp, chúng ta đều thấy rằng biểu thức \(n^2 + n + 2\) đều không chia hết cho 3.

Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng với mọi số nguyên \(n\), \(n^2 + n + 2\) không chia hết cho 3.

Điều phải chứng minh.

Các em về nhà ôn lại cách xét trường hợp theo số dư khi chia cho một số, đây là một phương pháp rất hữu ích trong các bài toán số học.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!