Chúng ta sẽ cùng nhau làm từng bài một nhé.

Bài 1: Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\(\left( \frac{1}{x-4} – \frac{1}{x+4\sqrt{x}+4} \right) \cdot \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

Lời giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Để biểu thức có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo các điều kiện sau:
1. Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \ge 0\).
2. Mẫu số của các phân thức phải khác 0.
– \(x – 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4\)
– \(x + 4\sqrt{x} + 4 \ne 0\). Chú ý \(x + 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{x}+2)^2\). Vì \(x \ge 0\), nên \(\sqrt{x} \ge 0\), do đó \(\sqrt{x}+2 \ge 2\). Vậy \((\sqrt{x}+2)^2 \ne 0\) luôn đúng.
– \(\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).

Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có điều kiện xác định của biểu thức là \(x > 0\) và \(x \ne 4\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức
Ta viết lại biểu thức như sau:
\( \left( \frac{1}{(\sqrt{x})^2-2^2} – \frac{1}{(\sqrt{x}+2)^2} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}} \)

Quy đồng mẫu số trong ngoặc thứ nhất:
\( \frac{(\sqrt{x}+2)^2 – ((\sqrt{x})^2-4)}{(\sqrt{x}-2)^2(\sqrt{x}+2)^2} \)
\( = \frac{(x+4\sqrt{x}+4) – (x-4)}{((\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2))^2} \)
\( = \frac{x+4\sqrt{x}+4-x+4}{(\sqrt{x}-2)^2(\sqrt{x}+2)^2} \)
\( = \frac{4\sqrt{x}+8}{(\sqrt{x}-2)^2(\sqrt{x}+2)^2} \)
\( = \frac{4(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)^2(\sqrt{x}+2)^2} \)
\( = \frac{4}{(\sqrt{x}-2)^2(\sqrt{x}+2)} \)

Phần thứ hai của biểu thức:
\( \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}+2 \) (với \(x > 0\))

Bây giờ, ta nhân hai phần lại với nhau:
\( \frac{4}{(\sqrt{x}-2)^2(\sqrt{x}+2)} \cdot (\sqrt{x}+2) \)
\( = \frac{4}{(\sqrt{x}-2)^2} \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( \frac{4}{(\sqrt{x}-2)^2} \) với điều kiện \(x > 0\) và \(x \ne 4\).

Bài 2: Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\(\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} + \frac{2}{\sqrt{x}-2} \right) : \frac{x+4}{\sqrt{x}+2}\)

Lời giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định
1. \(x \ge 0\)
2. Mẫu số khác 0:
– \(\sqrt{x}+2 \ne 0\). Vì \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(\sqrt{x}+2 \ge 2 \ne 0\).
– \(\sqrt{x}-2 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 2 \Rightarrow x \ne 4\).
– \(x+4 \ne 0\). Vì \(x \ge 0\), nên \(x+4 \ge 4 \ne 0\).

Kết hợp các điều kiện, ta có điều kiện xác định là \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức
Ta thực hiện phép tính trong ngoặc trước:
\( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} + \frac{2}{\sqrt{x}-2} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2) + 2(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} \)
\( = \frac{x – 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x})^2 – 2^2} \)
\( = \frac{x+4}{x-4} \)

Bây giờ ta thực hiện phép chia:
\( \left( \frac{x+4}{x-4} \right) : \frac{x+4}{\sqrt{x}+2} \)
\( = \frac{x+4}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{x+4} \)

Với \(x+4 \ne 0\), ta có thể rút gọn \(x+4\):
\( = \frac{1}{x-4} \cdot (\sqrt{x}+2) \)
\( = \frac{\sqrt{x}+2}{x-4} \)

Chúng ta có thể viết \(x-4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\).
\( = \frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} \)

Với \(\sqrt{x}+2 \ne 0\), ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}+2\):
\( = \frac{1}{\sqrt{x}-2} \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( \frac{1}{\sqrt{x}-2} \) với điều kiện \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\).

Bài 3: Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\(A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} – \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right) : \frac{1}{\sqrt{x}+1}\)

Lời giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định
1. \(x \ge 0\)
2. Mẫu số khác 0:
– \(\sqrt{x}-1 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 1 \Rightarrow x \ne 1\).
– \(x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1\).
– \(\sqrt{x}+1 \ne 0\). Vì \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(\sqrt{x}+1 \ge 1 \ne 0\).

Kết hợp các điều kiện, ta có điều kiện xác định là \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức
Ta thực hiện phép tính trong ngoặc trước. Lưu ý \(x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\).
\( \frac{1}{\sqrt{x}-1} – \frac{\sqrt{x}}{x-1} = \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} – \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \)
\( = \frac{\sqrt{x}+1 – \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \)
\( = \frac{1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \)
\( = \frac{1}{x-1} \)

Bây giờ ta thực hiện phép chia:
\( A = \frac{1}{x-1} : \frac{1}{\sqrt{x}+1} \)
\( A = \frac{1}{x-1} \cdot (\sqrt{x}+1) \)
\( A = \frac{\sqrt{x}+1}{x-1} \)

Ta có \(x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\).
\( A = \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \)

Với \(\sqrt{x}+1 \ne 0\), ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}+1\):
\( A = \frac{1}{\sqrt{x}-1} \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( A = \frac{1}{\sqrt{x}-1} \) với điều kiện \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).

Bài 4: Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\(A = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2-x} : \left( \frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{1}{\sqrt{x}+1} \right)\)

Lời giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định
1. \(x \ge 0\)
2. Mẫu số khác 0:
– \(x^2-x = x(x-1)\). Ta cần \(x(x-1) \ne 0\). Vì \(x \ge 0\), nên \(x \ne 0\). Ta cũng cần \(x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1\).
– \(\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).
– \(\sqrt{x}+1 \ne 0\). Như đã phân tích ở bài 3, điều này luôn đúng khi \(x \ge 0\).

Kết hợp các điều kiện, ta có điều kiện xác định là \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức
Ta thực hiện phép tính trong ngoặc trước:
\( \frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{1}{\sqrt{x}+1} = \frac{(\sqrt{x}+1) – \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} \)

Bây giờ ta thực hiện phép chia:
\( A = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2-x} : \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} \)
\( A = \frac{\sqrt{x}-1}{x(x-1)} \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}+1) \)

Ta có \(x = (\sqrt{x})^2\) và \(x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\).
\( A = \frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x})^2 (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}+1) \)

Với \(x > 0\) và \(x \ne 1\), ta có \(\sqrt{x} \ne 0\), \(\sqrt{x}-1 \ne 0\), \(\sqrt{x}+1 \ne 0\).
Ta có thể rút gọn:
\( A = \frac{\cancel{\sqrt{x}-1}}{\cancel{(\sqrt{x})^2} \cancel{(\sqrt{x}-1)}\cancel{(\sqrt{x}+1)}} \cdot \cancel{\sqrt{x}}\cancel{(\sqrt{x}+1)} \)
\( A = \frac{1}{\sqrt{x}} \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( A = \frac{1}{\sqrt{x}} \) với điều kiện \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

Các em thấy đó, để rút gọn biểu thức chứa căn thức, việc đầu tiên và quan trọng nhất là phải xác định đúng điều kiện xác định. Sau đó, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc biến đổi đại số, hằng đẳng thức đáng nhớ để làm cho biểu thức đơn giản nhất có thể.

Các em hãy xem lại bài giải, thực hành thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!