Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn biểu thức. Đây là dạng bài rất quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về hằng đẳng thức và các phép biến đổi đại số.

Đề bài: Thực hiện phép tính

\( (x + y + 1)^2 – (x – y)(x + y) – 2x – 2y \)

Để giải bài này, chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng phần của biểu thức, sau đó ghép lại và rút gọn nhé!

Lời giải chi tiết:

Ta có biểu thức:

\( P = (x + y + 1)^2 – (x – y)(x + y) – 2x – 2y \)

Bước 1: Khai triển hạng tử đầu tiên \( (x + y + 1)^2 \)

Ở đây, chúng ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức tổng ba số hạng bình phương: \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \).
Trong trường hợp này, \( a = x \), \( b = y \), và \( c = 1 \).

Vậy, ta có:

\( (x + y + 1)^2 = x^2 + y^2 + 1^2 + 2 \cdot x \cdot y + 2 \cdot x \cdot 1 + 2 \cdot y \cdot 1 \)

\( = x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y \)

Bước 2: Khai triển hạng tử thứ hai \( -(x – y)(x + y) \)

Chúng ta nhận thấy \( (x – y)(x + y) \) là hằng đẳng thức số 3: Hiệu hai bình phương, có dạng \( (a – b)(a + b) = a^2 – b^2 \).
Ở đây, \( a = x \) và \( b = y \).

Vậy, ta có:

\( (x – y)(x + y) = x^2 – y^2 \)

Tuy nhiên, trong biểu thức gốc có dấu trừ phía trước, nên chúng ta phải đổi dấu toàn bộ kết quả sau khi khai triển:

\( -(x^2 – y^2) = -x^2 + y^2 \)

Bước 3: Xem xét các hạng tử còn lại \( -2x – 2y \)

Hai hạng tử này chúng ta có thể giữ nguyên hoặc nhóm lại: \( -2x – 2y = -2(x + y) \). Tùy vào quá trình rút gọn sau này mà chúng ta sẽ quyết định cách xử lý phù hợp.

Bước 4: Ghép các kết quả lại và rút gọn biểu thức

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các phần đã khai triển vào biểu thức ban đầu:

\( P = (x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y) + (-x^2 + y^2) + (-2x – 2y) \)

Mở ngoặc và sắp xếp lại các hạng tử:

\( P = x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y – x^2 + y^2 – 2x – 2y \)

Bây giờ chúng ta sẽ nhóm các hạng tử đồng dạng và cộng/trừ chúng:

• Các hạng tử chứa \( x^2 \): \( x^2 – x^2 = 0 \)
• Các hạng tử chứa \( y^2 \): \( y^2 + y^2 = 2y^2 \)
• Các hạng tử chứa \( xy \): \( 2xy \) (chỉ có một hạng tử)
• Các hạng tử chứa \( x \): \( 2x – 2x = 0 \)
• Các hạng tử chứa \( y \): \( 2y – 2y = 0 \)
• Hằng số: \( 1 \) (chỉ có một hạng tử)

Kết hợp tất cả lại, ta được:

\( P = 0 + 2y^2 + 2xy + 0 + 0 + 1 \)

\( P = 2y^2 + 2xy + 1 \)

Vậy, kết quả cuối cùng của phép tính là:

\( (x + y + 1)^2 – (x – y)(x + y) – 2x – 2y = 2y^2 + 2xy + 1 \)

Các em nhớ ôn lại các hằng đẳng thức và cẩn thận với dấu khi khai triển nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, hãy hỏi thầy/cô ngay.