Đề bài: Bạn Đan hư đã gọi số đẹp là một số có số chữ số lớn hơn 1 và tổng của chữ số đầu và chữ số cuối là một số chính phương. Hãy tính có bao nhiêu số đẹp nhỏ hơn 1256.

Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích rõ các điều kiện của “số đẹp”:

1. Số đó có số chữ số lớn hơn 1 (tức là có ít nhất 2 chữ số).
2. Tổng của chữ số đầu và chữ số cuối là một số chính phương.

Chúng ta cần đếm số lượng các số đẹp nhỏ hơn 1256. Vì vậy, chúng ta sẽ xem xét các số theo số lượng chữ số của chúng.

Trường hợp 1: Số có 2 chữ số.

Số có 2 chữ số có dạng \(\overline{ab}\), với \(a \in \{1, 2, …, 9\}\) và \(b \in \{0, 1, …, 9\}\).

Điều kiện là tổng của chữ số đầu và chữ số cuối là số chính phương, tức là \(a + b\) là số chính phương.

Các số chính phương nhỏ hơn hoặc bằng \(9 + 9 = 18\) là: 0, 1, 4, 9, 16.

Tuy nhiên, vì \(a \ge 1\) và \(b \ge 0\), nên \(a+b \ge 1\). Vậy các số chính phương có thể là: 1, 4, 9, 16.

Chúng ta liệt kê các cặp \((a, b)\) thỏa mãn:

• \(a + b = 1\): \((1, 0)\). Số: 10.
• \(a + b = 4\): \((1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)\). Các số: 13, 22, 31, 40.
• \(a + b = 9\): \((1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0)\). Các số: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.
• \(a + b = 16\): \((7, 9), (8, 8), (9, 7)\). Các số: 79, 88, 97.

Tổng cộng có: 1 + 4 + 9 + 3 = 17 số có 2 chữ số là số đẹp.

Trường hợp 2: Số có 3 chữ số.

Số có 3 chữ số có dạng \(\overline{abc}\), với \(a \in \{1, 2, …, 9\}\) và \(b, c \in \{0, 1, …, 9\}\).

Điều kiện là \(a + c\) là số chính phương. Các số chính phương có thể là: 1, 4, 9, 16.

Chúng ta sẽ đếm số lượng các cặp \((a, c)\) và nhân với số lượng các chữ số \(b\) có thể có.

• \(a + c = 1\): \((1, 0)\). Có 1 cặp \((a, c)\). Chữ số \(b\) có 10 lựa chọn (0-9). Số lượng: 1 * 10 = 10.
• \(a + c = 4\): \((1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)\). Có 4 cặp \((a, c)\). Chữ số \(b\) có 10 lựa chọn. Số lượng: 4 * 10 = 40.
• \(a + c = 9\): \((1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0)\). Có 9 cặp \((a, c)\). Chữ số \(b\) có 10 lựa chọn. Số lượng: 9 * 10 = 90.
• \(a + c = 16\): \((7, 9), (8, 8), (9, 7)\). Có 3 cặp \((a, c)\). Chữ số \(b\) có 10 lựa chọn. Số lượng: 3 * 10 = 30.

Tổng cộng có: 10 + 40 + 90 + 30 = 170 số có 3 chữ số là số đẹp.

Trường hợp 3: Số có 4 chữ số nhỏ hơn 1256.

Số có 4 chữ số có dạng \(\overline{abcd}\). Chúng ta chỉ xét các số nhỏ hơn 1256.

Phần A: Các số có dạng \(1bcd\) với \(b < 2\).

Trong trường hợp này, chúng ta có \(a = 1\). Điều kiện là \(a + d\) là số chính phương, tức là \(1 + d\) là số chính phương.

Các giá trị của \(1 + d\) có thể là: 1, 4, 9, 16.

• \(1 + d = 1 \implies d = 0\). Ta có \(a=1, d=0\). Các số có dạng \(1bc0\). Chữ số \(b\) có thể là 0 hoặc 1 (vì số nhỏ hơn 1256). Chữ số \(c\) có 10 lựa chọn (0-9).
• Nếu \(b=0\): Các số có dạng \(10c0\). Có 10 số (1000, 1010, …, 1090).
• Nếu \(b=1\): Các số có dạng \(11c0\). Có 10 số (1100, 1110, …, 1190).

Tổng cộng: 10 + 10 = 20 số.

• \(1 + d = 4 \implies d = 3\). Ta có \(a=1, d=3\). Các số có dạng \(1bc3\). Chữ số \(b\) có thể là 0 hoặc 1. Chữ số \(c\) có 10 lựa chọn (0-9).
• Nếu \(b=0\): Các số có dạng \(10c3\). Có 10 số (1003, 1013, …, 1093).
• Nếu \(b=1\): Các số có dạng \(11c3\). Có 10 số (1103, 1113, …, 1193).

Tổng cộng: 10 + 10 = 20 số.

• \(1 + d = 9 \implies d = 8\). Ta có \(a=1, d=8\). Các số có dạng \(1bc8\). Chữ số \(b\) có thể là 0 hoặc 1. Chữ số \(c\) có 10 lựa chọn (0-9).
• Nếu \(b=0\): Các số có dạng \(10c8\). Có 10 số (1008, 1018, …, 1098).
• Nếu \(b=1\): Các số có dạng \(11c8\). Có 10 số (1108, 1118, …, 1198).

Tổng cộng: 10 + 10 = 20 số.

• \(1 + d = 16 \implies d = 15\). Không có chữ số \(d\) nào thỏa mãn.

Vậy ở phần A, ta có tổng cộng: 20 + 20 + 20 = 60 số.

Phần B: Các số có dạng \(12bc\) với \(12bc < 1256\).

Trong trường hợp này, chúng ta có \(a = 1\). Điều kiện là \(a + d\) là số chính phương, tức là \(1 + d\) là số chính phương.

Ta có \(a=1\). Các giá trị \(1+d\) có thể là: 1, 4, 9, 16.

• \(1 + d = 1 \implies d = 0\). Ta có \(a=1, d=0\). Các số có dạng \(12c0\). Các số này phải nhỏ hơn 1256, nên \(c\) có thể từ 0 đến 5. Các số là: 1200, 1210, 1220, 1230, 1240, 1250. Có 6 số.
• \(1 + d = 4 \implies d = 3\). Ta có \(a=1, d=3\). Các số có dạng \(12c3\). Các số này phải nhỏ hơn 1256. Chữ số \(c\) có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5. Các số là: 1203, 1213, 1223, 1233, 1243, 1253. Có 6 số.
• \(1 + d = 9 \implies d = 8\). Ta có \(a=1, d=8\). Các số có dạng \(12c8\). Các số này phải nhỏ hơn 1256. Chữ số \(c\) có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5. Các số là: 1208, 1218, 1228, 1238, 1248, 1258. Tuy nhiên, 1258 > 1256. Vậy \(c\) chỉ có thể từ 0 đến 4. Các số là: 1208, 1218, 1228, 1238, 1248. Có 5 số.
• \(1 + d = 16 \implies d = 15\). Không có chữ số \(d\) nào thỏa mãn.

Vậy ở phần B, ta có tổng cộng: 6 + 6 + 5 = 17 số.

Tổng kết số lượng số đẹp:

• Số có 2 chữ số: 17
• Số có 3 chữ số: 170
• Số có 4 chữ số nhỏ hơn 1256: 60 (từ 1000 đến 1198) + 17 (từ 1200 đến 1253) = 77 số.

Tổng cộng số lượng số đẹp nhỏ hơn 1256 là: 17 + 170 + 77 = 264 số.

Vậy, có tất cả 264 số đẹp nhỏ hơn 1256.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chúng ta cần phân tích kỹ các điều kiện và chia thành các trường hợp nhỏ để dễ dàng tính toán.