Chào em! Rất vui được giúp em giải bài toán này. Đây là một bài toán hình học quen thuộc trong chương trình lớp 9, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

—

Bài giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a. Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính BC, góc B, C (kết quả góc làm tròn đến độ).

Phân tích:

• Để tính cạnh huyền BC khi biết hai cạnh góc vuông AB, AC, ta dùng định lý Pytago.
• Để tính các góc B và C, ta dùng các tỉ số lượng giác (sin, cos, tan, cot). Ở đây, biết cả hai cạnh góc vuông, dùng tan (tangent) là tiện nhất.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC vuông tại A:

• Tính cạnh BC:

Theo định lý Pytago, ta có:

\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

Thay số vào:

\(BC^2 = 6^2 + 8^2\)

\(BC^2 = 36 + 64\)

\(BC^2 = 100\)

\(BC = \sqrt{100}\)

\(BC = 10\) cm

• Tính góc B:

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(\tan B = \frac{AC}{AB}\) (cạnh đối chia cạnh kề)

Thay số vào:

\(\tan B = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)

Để tìm góc B, ta dùng hàm arctan (hoặc shift tan trên máy tính):

\(B = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)\)

Sử dụng máy tính, ta được \(B \approx 53.13^\circ\).

Làm tròn đến độ, ta có \(\mathbf{\angle B \approx 53^\circ}\).

• Tính góc C:

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên tổng hai góc nhọn B và C bằng \(90^\circ\).

\(\angle B + \angle C = 90^\circ\)

\(\angle C = 90^\circ - \angle B\)

\(\angle C \approx 90^\circ - 53^\circ\)

\(\mathbf{\angle C \approx 37^\circ}\).

Tóm tắt kết quả câu a:

\(BC = 10\) cm

\(\angle B \approx 53^\circ\)

\(\angle C \approx 37^\circ\)

b. Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC (E thuộc AB, F thuộc AC). Chứng minh: \(\sin^2 B = \frac{CF}{AC}\).

Phân tích:

• Chúng ta cần chứng minh một đẳng thức liên quan đến \(\sin^2 B\) và tỉ số độ dài \(\frac{CF}{AC}\).
• Đầu tiên, hãy xác định các mối quan hệ hình học từ giả thiết: HE \(\perp\) AB, HF \(\perp\) AC.
• Vì \(\triangle ABC\) vuông tại A, nên \(\angle A = 90^\circ\). Tứ giác AEFH có \(\angle AEH = 90^\circ\), \(\angle AFH = 90^\circ\), \(\angle EAF = 90^\circ\). Do đó, AEFH là hình chữ nhật.
• Trong tam giác vuông ABC, ta biết rằng \(\angle B + \angle C = 90^\circ\).
• Trong tam giác vuông ABH (vuông tại H), \(\angle B + \angle BAH = 90^\circ\). Suy ra \(\angle BAH = \angle C\).
• Trong tam giác vuông ACH (vuông tại H), \(\angle C + \angle CAH = 90^\circ\). Suy ra \(\angle CAH = \angle B\). Đây là một mối quan hệ quan trọng.

Lời giải chi tiết:

1. Xác định các mối quan hệ hình học:

• Theo giả thiết, HE \(\perp\) AB (tại E) và HF \(\perp\) AC (tại F).
• Vì \(\triangle ABC\) vuông tại A, nên \(\angle A = 90^\circ\) (hay \(\angle EAF = 90^\circ\)).
• Tứ giác AEFH có ba góc vuông (\(\angle AEH = 90^\circ\), \(\angle AFH = 90^\circ\), \(\angle EAF = 90^\circ\)) nên AEFH là hình chữ nhật.
• Từ đó suy ra các cạnh đối bằng nhau: \(AE = HF\) và \(AF = HE\).

2. Sử dụng mối quan hệ góc:

• Trong \(\triangle ABC\) vuông tại A, ta có \(\angle B + \angle C = 90^\circ\).
• Trong \(\triangle AHC\) vuông tại H, ta có \(\angle HAC + \angle C = 90^\circ\).
• Từ hai điều trên, suy ra \(\angle HAC = \angle B\).

3. Biến đổi vế phải của đẳng thức cần chứng minh: \(\frac{CF}{AC}\)

• Ta có \(CF = AC - AF\).
• Xét \(\triangle AFH\) vuông tại F (vì HF \(\perp\) AC).
  Góc \(\angle FAH\) chính là \(\angle HAC\), mà ta đã chứng minh \(\angle HAC = \angle B\).
  Vậy, trong \(\triangle AFH\), ta có:
  \(\cos(\angle FAH) = \cos B = \frac{AF}{AH}\) (cạnh kề chia cạnh huyền trong \(\triangle AFH\)).
  Suy ra \(AF = AH \cdot \cos B\).
• Thay \(AF\) vào biểu thức của \(CF\):
  \(CF = AC - AH \cdot \cos B\).
• Bây giờ, xét tỉ số \(\frac{CF}{AC}\):
  \(\frac{CF}{AC} = \frac{AC - AH \cdot \cos B}{AC}\)
\(\frac{CF}{AC} = 1 - \frac{AH \cdot \cos B}{AC}\). (1)

4. Biến đổi vế trái và so sánh:

• Ta cần chứng minh \(\sin^2 B = 1 - \frac{AH \cdot \cos B}{AC}\).
• Sử dụng đẳng thức cơ bản trong lượng giác: \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\), suy ra \(\sin^2 B = 1 - \cos^2 B\).
• Vậy, ta cần chứng minh:
  \(1 - \cos^2 B = 1 - \frac{AH \cdot \cos B}{AC}\).
• Điều này tương đương với:
  \(-\cos^2 B = - \frac{AH \cdot \cos B}{AC}\)
• Hay:
  \(\cos^2 B = \frac{AH \cdot \cos B}{AC}\).
• Vì B là góc nhọn của tam giác vuông, \(\cos B \neq 0\), ta có thể chia cả hai vế cho \(\cos B\):
  \(\cos B = \frac{AH}{AC}\). (2)

5. Kiểm tra đẳng thức (2):

• Xét \(\triangle AHC\) vuông tại H.
  Góc nhọn \(\angle CAH\) đã được chứng minh bằng \(\angle B\).
  Trong \(\triangle AHC\), \(\cos(\angle CAH) = \frac{AH}{AC}\) (cạnh kề chia cạnh huyền).
  Vì \(\angle CAH = \angle B\), nên \(\cos B = \frac{AH}{AC}\).

Đẳng thức (2) là đúng. Do đó, các bước suy luận ngược lại cũng đúng.

Vậy, ta đã chứng minh được \(\sin^2 B = \frac{CF}{AC}\).

Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được đẳng thức thông qua việc phân tích các mối quan hệ góc trong tam giác vuông và sử dụng các tỉ số lượng giác cùng với các tính chất của hình chữ nhật AEFH.

—

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, em cứ hỏi nhé! Chúc em học tốt!