Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về phương trình nghiệm nguyên. Bài toán yêu cầu tìm tất cả các cặp số nguyên \(x, y\) thỏa mãn phương trình sau:

\(2x^{2}\) + 2x − 2xy − y − 3 = 0

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng một số kỹ thuật biến đổi đại số quen thuộc.

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng nhóm các hạng tử.

Thầy nhận thấy trong phương trình có các hạng tử chứa \(x\) và \(y\). Chúng ta có thể thử nhóm các hạng tử có \(y\) lại với nhau để xem có thể đặt nhân tử chung hay không.

\(2x^{2}\) + 2x − 3 = 2xy + y

\(2x^{2}\) + 2x − 3 = y(2x + 1)

Từ đây, chúng ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\(y = \frac{2x^{2} + 2x – 3}{2x + 1}\)

Bước 2: Sử dụng phép chia đa thức hoặc biến đổi để làm xuất hiện nhân tử ở tử số.

Vì \(x\) và \(y\) là các số nguyên, nên \(2x + 1\) phải là ước của \(2x^{2} + 2x – 3\). Tuy nhiên, để dễ dàng hơn trong việc tìm ước, chúng ta sẽ biến đổi tử số sao cho xuất hiện nhân tử \(2x + 1\).

Ta có thể thực hiện phép chia đa thức, hoặc cách làm khác là thêm bớt các hạng tử. Thầy sẽ thử cách thêm bớt:

Nhân tử \(2x+1\) có liên quan đến \(2x^2\). Ta có thể nhân tử \(x\) với \(2x+1\) sẽ ra \(2x^2+x\). Vậy ta thử thêm bớt \(x\).

\(2x^{2} + 2x – 3 = 2x^{2} + x – x + 2x – 3\)

\( = x(2x + 1) + x – 3\)

Bây giờ, chúng ta cần làm cho hạng tử \(x – 3\) cũng có nhân tử \(2x + 1\). Ta có thể nhân \(x – 3\) với \(2\) rồi chia cho \(2\).

\(x – 3 = \frac{2(x – 3)}{2} = \frac{2x – 6}{2}\)

Để \(2x – 6\) có nhân tử \(2x + 1\), ta thấy \(2x – 6 = (2x + 1) – 7\).

\(2x^{2} + 2x – 3 = x(2x + 1) + \frac{(2x + 1) – 7}{2}\)

\( = x(2x + 1) + \frac{1}{2}(2x + 1) – \frac{7}{2}\)

\( = (x + \frac{1}{2})(2x + 1) – \frac{7}{2}\)

Bây giờ, thay biểu thức này trở lại vào công thức tính \(y\):

\(y = \frac{(x + \frac{1}{2})(2x + 1) – \frac{7}{2}}{2x + 1}\)

\(y = x + \frac{1}{2} – \frac{\frac{7}{2}}{2x + 1}\)

\(y = x + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(2x + 1)}\)

Để \(y\) là số nguyên, biểu thức \(x + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(2x + 1)}\) phải là số nguyên.

Điều này có nghĩa là \(\frac{7}{2(2x + 1)}\) phải là một số “nửa nguyên” (dạng \(k + \frac{1}{2}\) hoặc \(k – \frac{1}{2}\) với \(k\) là số nguyên) sao cho khi trừ đi \(\frac{1}{2}\) thì nó trở thành số nguyên.

Hay nói cách khác, \(2 \times \frac{7}{2(2x + 1)} = \frac{7}{2x + 1}\) phải là một số nguyên.

Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của x để \(2x+1\) là ước của 7.

Vì \(2x + 1\) phải là ước của \(7\), các ước của \(7\) là: \(-7, -1, 1, 7\).

Chúng ta sẽ xét từng trường hợp:

* Trường hợp 1: \(2x + 1 = -7\)
\(2x = -8\)
\(x = -4\)
Thay \(x = -4\) vào biểu thức tính \(y\):
\(y = -4 + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(2(-4) + 1)}\)
\(y = -4 + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(-8 + 1)}\)
\(y = -4 + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(-7)}\)
\(y = -4 + \frac{1}{2} – \frac{7}{-14}\)
\(y = -4 + \frac{1}{2} – (-\frac{1}{2})\)
\(y = -4 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\)
\(y = -4 + 1\)
\(y = -3\)
Vậy, ta có cặp nghiệm nguyên \((x, y) = (-4, -3)\).

* Trường hợp 2: \(2x + 1 = -1\)
\(2x = -2\)
\(x = -1\)
Thay \(x = -1\) vào biểu thức tính \(y\):
\(y = -1 + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(2(-1) + 1)}\)
\(y = -1 + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(-2 + 1)}\)
\(y = -1 + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(-1)}\)
\(y = -1 + \frac{1}{2} – \frac{7}{-2}\)
\(y = -1 + \frac{1}{2} + \frac{7}{2}\)
\(y = -1 + \frac{8}{2}\)
\(y = -1 + 4\)
\(y = 3\)
Vậy, ta có cặp nghiệm nguyên \((x, y) = (-1, 3)\).

* Trường hợp 3: \(2x + 1 = 1\)
\(2x = 0\)
\(x = 0\)
Thay \(x = 0\) vào biểu thức tính \(y\):
\(y = 0 + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(2(0) + 1)}\)
\(y = \frac{1}{2} – \frac{7}{2(1)}\)
\(y = \frac{1}{2} – \frac{7}{2}\)
\(y = \frac{1 – 7}{2}\)
\(y = \frac{-6}{2}\)
\(y = -3\)
Vậy, ta có cặp nghiệm nguyên \((x, y) = (0, -3)\).

* Trường hợp 4: \(2x + 1 = 7\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
Thay \(x = 3\) vào biểu thức tính \(y\):
\(y = 3 + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(2(3) + 1)}\)
\(y = 3 + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(6 + 1)}\)
\(y = 3 + \frac{1}{2} – \frac{7}{2(7)}\)
\(y = 3 + \frac{1}{2} – \frac{7}{14}\)
\(y = 3 + \frac{1}{2} – \frac{1}{2}\)
\(y = 3\)
Vậy, ta có cặp nghiệm nguyên \((x, y) = (3, 3)\).

Kết luận:

Sau khi xét tất cả các trường hợp, chúng ta tìm được bốn cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy, các cặp số nguyên \(x, y\) thỏa mãn phương trình là: \((-4, -3), (-1, 3), (0, -3), (3, 3)\).

Các em thấy đó, với một chút khéo léo trong biến đổi đại số, chúng ta có thể đưa bài toán về một dạng quen thuộc và dễ dàng tìm ra lời giải. Hãy luôn cố gắng phân tích kỹ đề bài và thử nghiệm các phương pháp biến đổi khác nhau nhé! Chúc các em học tốt!