Bài toán: Một phân xưởng theo kế hoạch phải sản xuất 140 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 2 sản phẩm nên đã hoàn thành sớm hơn dự định 8 ngày. Hỏi mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm theo kế hoạch?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp lập hệ phương trình. Đây là một phương pháp rất hiệu quả để giải các bài toán có hai ẩn số.

Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện

Trước hết, chúng ta cần xác định các đại lượng chưa biết và đặt ẩn cho chúng.

Gọi số ngày phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là \(x\) (ngày).

Gọi số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là \(y\) (sản phẩm/ngày).

Điều kiện của bài toán là: \(x\) và \(y\) phải là các số dương, vì đây là số ngày và số sản phẩm.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn

Chúng ta có thông tin về tổng số sản phẩm là 140.

Theo kế hoạch: Tổng số sản phẩm = Số ngày theo kế hoạch × Số sản phẩm mỗi ngày theo kế hoạch

Ta có phương trình thứ nhất: \(x \times y = 140\) (1)

Tiếp theo, chúng ta xem xét tình huống thực tế khi phân xưởng sản xuất vượt mức.

Số sản phẩm mỗi ngày thực tế sản xuất là: \(y + 2\) (sản phẩm/ngày).

Số ngày hoàn thành sớm hơn dự định là 8 ngày. Vậy, số ngày thực tế hoàn thành công việc là: \(x – 8\) (ngày).

Tổng số sản phẩm thực tế sản xuất cũng là 140 sản phẩm.

Thực tế: Tổng số sản phẩm = Số ngày thực tế × Số sản phẩm mỗi ngày thực tế

Ta có phương trình thứ hai: \((x – 8) \times (y + 2) = 140\) (2)

Bước 3: Lập hệ phương trình

Từ hai phương trình (1) và (2) mà chúng ta đã thiết lập, ta có hệ phương trình như sau:

\[
\begin{cases}
xy = 140 \quad &(1) \\
(x-8)(y+2) = 140 \quad &(2)
\end{cases}
\]

Bước 4: Giải hệ phương trình

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\) (vì \(x \neq 0\)):

\(y = \frac{140}{x}\)

Bây giờ, chúng ta thế biểu thức của \(y\) vào phương trình (2):

\((x – 8) \left( \frac{140}{x} + 2 \right) = 140\)

Tiến hành khai triển và rút gọn:

\(x \left( \frac{140}{x} + 2 \right) – 8 \left( \frac{140}{x} + 2 \right) = 140\)

\(140 + 2x – \frac{1120}{x} – 16 = 140\)

\(2x – \frac{1120}{x} – 16 = 0\)

Để khử mẫu số \(x\), chúng ta nhân cả hai vế của phương trình với \(x\) (nhớ rằng \(x \neq 0\)):

\(2x^2 – 1120 – 16x = 0\)

Sắp xếp lại phương trình theo dạng phương trình bậc hai:

\(2x^2 – 16x – 1120 = 0\)

Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa:

\(x^2 – 8x – 560 = 0\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Sử dụng công thức nghiệm:

\(\Delta = b^2 – 4ac = (-8)^2 – 4(1)(-560) = 64 + 2240 = 2304\)

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{2304} = 48\)

Các nghiệm của phương trình là:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 + 48}{2(1)} = \frac{56}{2} = 28\)

\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 – 48}{2(1)} = \frac{-40}{2} = -20\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Chúng ta đã đặt điều kiện \(x\) là số ngày, nên \(x\) phải là số dương. Do đó, nghiệm \(x_2 = -20\) bị loại.

Ta nhận nghiệm \(x = 28\).

Bây giờ, chúng ta tìm giá trị của \(y\) bằng cách sử dụng \(y = \frac{140}{x}\):

\(y = \frac{140}{28} = 5\)

Vậy, theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất 5 sản phẩm.

Kiểm tra lại kết quả:

Theo kế hoạch: 28 ngày × 5 sản phẩm/ngày = 140 sản phẩm.

Thực tế: Mỗi ngày sản xuất 5 + 2 = 7 sản phẩm.

Số ngày hoàn thành thực tế là 28 – 8 = 20 ngày.

Tổng số sản phẩm thực tế: 20 ngày × 7 sản phẩm/ngày = 140 sản phẩm.

Kết quả hoàn toàn khớp với đề bài!

Trả lời: Theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất 5 sản phẩm.

Các em thấy đấy, việc xác định đúng ẩn số, biểu diễn các đại lượng liên quan và lập hệ phương trình chính xác là chìa khóa để giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để thành thạo hơn nhé!