Bài 9. Một người dự định đi xe máy một quãng đường với tốc độ không đổi 40km/h. Nhưng
đi đến đúng nửa đường thì xe bị hỏng phải sửa chữa mất 30 phút sau đó đi tiếp với tốc độ
không đổi 60km/h, do đó đến muộn hơn dự định 15 phút. Hỏi thời gian dự định đi lúc đầu?

Lời giải chi tiết:

Chào các em, để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng đã cho và các đại lượng cần tìm.

Gọi:

• Quãng đường AB là \(S\) (km).
• Vận tốc dự định là \(v_1 = 40\) km/h.
• Thời gian dự định đi lúc đầu là \(t_0\) (giờ).

Theo công thức tính quãng đường, ta có: \(S = v_1 \cdot t_0 = 40 t_0\) (1)

Bây giờ, chúng ta hãy phân tích hành trình thực tế:

1. Người đó đi nửa quãng đường đầu tiên với vận tốc dự định \(v_1 = 40\) km/h.

Quãng đường đi được là \(\frac{S}{2}\).

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là \(t_{1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S/2}{40} = \frac{S}{80}\) (giờ).

2. Xe bị hỏng và sửa chữa mất 30 phút. Đổi 30 phút ra giờ: \(30 \text{ phút} = \frac{30}{60} = 0.5\) giờ.

Thời gian sửa xe là \(t_{sửa} = 0.5\) giờ.

3. Người đó đi nửa quãng đường còn lại với vận tốc \(v_2 = 60\) km/h.

Quãng đường còn lại là \(\frac{S}{2}\).

Thời gian đi nửa quãng đường còn lại là \(t_{2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}\) (giờ).

Tổng thời gian thực tế đã đi là \(t_{thực\_tế} = t_1 + t_{sửa} + t_2\).

Tức là: \(t_{thực\_tế} = \frac{S}{80} + 0.5 + \frac{S}{120}\) (giờ) (2)

Theo đề bài, người đó đến muộn hơn dự định 15 phút. Đổi 15 phút ra giờ: \(15 \text{ phút} = \frac{15}{60} = 0.25\) giờ.

Vậy, thời gian thực tế bằng thời gian dự định cộng thêm 0.25 giờ:

\(t_{thực\_tế} = t_0 + 0.25\) (giờ) (3)

Từ (1) và (2), chúng ta thay \(S = 40 t_0\) vào biểu thức của \(t_{thực\_tế}\):

\(t_{thực\_tế} = \frac{40 t_0}{80} + 0.5 + \frac{40 t_0}{120}\)

\(t_{thực\_tế} = \frac{t_0}{2} + 0.5 + \frac{t_0}{3}\) (4)

Bây giờ, chúng ta có hai biểu thức cho \(t_{thực\_tế}\) là (3) và (4). Ta cho chúng bằng nhau để tìm \(t_0\):

\(t_0 + 0.25 = \frac{t_0}{2} + 0.5 + \frac{t_0}{3}\)

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ chuyển các số hạng chứa \(t_0\) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại:

\(t_0 – \frac{t_0}{2} – \frac{t_0}{3} = 0.5 – 0.25\)

Tìm mẫu số chung cho các phân số của \(t_0\), là 6:

\(\frac{6t_0}{6} – \frac{3t_0}{6} – \frac{2t_0}{6} = 0.25\)

\(\frac{(6 – 3 – 2)t_0}{6} = 0.25\)

\(\frac{t_0}{6} = 0.25\)

\(t_0 = 0.25 \cdot 6\)

\(t_0 = 1.5\) (giờ)

Vậy, thời gian dự định đi lúc đầu là 1.5 giờ.

Kiểm tra lại:

Nếu thời gian dự định là 1.5 giờ, quãng đường AB là \(S = 40 \cdot 1.5 = 60\) km.

• Nửa quãng đường đầu: \(30\) km. Thời gian đi: \(\frac{30}{40} = 0.75\) giờ.
• Thời gian sửa xe: \(0.5\) giờ.
• Nửa quãng đường sau: \(30\) km. Vận tốc: \(60\) km/h. Thời gian đi: \(\frac{30}{60} = 0.5\) giờ.

Tổng thời gian thực tế: \(0.75 + 0.5 + 0.5 = 1.75\) giờ.

Thời gian dự định: \(1.5\) giờ.

Thời gian đến muộn: \(1.75 – 1.5 = 0.25\) giờ, tương ứng với 15 phút. Đúng như đề bài.

Đáp số: Thời gian dự định đi lúc đầu là 1.5 giờ.

Bài 10. Một người đi xe đạp từ A đến B với dự định mất t = 4h, do nữa quãng đường sau
người đó tăng tốc độ thêm 3km/h nên đến sớm hơn dự định 20 phút.
a. Tính tốc độ dự định và quãng đường AB.
b. Nếu sau khi đi được 1h, do có việc người ấy phải ghé lại mất 30 phút. Hỏi đoạn
đường còn lại người đó phải đi với tốc độ bao nhiêu để đến nơi như dự định?

Lời giải chi tiết:

Chào các em, chúng ta cùng phân tích bài toán này thành hai phần nhỏ nhé!

Trước hết, chúng ta gọi các đại lượng:

• Quãng đường AB là \(S\) (km).
• Vận tốc dự định là \(v\) (km/h).
• Thời gian dự định là \(t_0 = 4\) giờ.

Theo công thức: \(S = v \cdot t_0 = v \cdot 4 = 4v\) (1)

a. Tính tốc độ dự định và quãng đường AB.

Chúng ta xét hành trình thực tế trong trường hợp này:

1. Nửa quãng đường đầu tiên là \(\frac{S}{2}\).

Người đó đi với vận tốc dự định là \(v\) km/h.

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là \(t_{1} = \frac{S/2}{v} = \frac{S}{2v}\) (giờ).

2. Nửa quãng đường sau là \(\frac{S}{2}\).

Người đó tăng tốc độ thêm 3 km/h, nên vận tốc lúc này là \((v+3)\) km/h.

Thời gian đi nửa quãng đường sau là \(t_{2} = \frac{S/2}{v+3} = \frac{S}{2(v+3)}\) (giờ).

Tổng thời gian thực tế để đi hết quãng đường AB là \(t_{thực\_tế} = t_1 + t_2\).

Tức là: \(t_{thực\_tế} = \frac{S}{2v} + \frac{S}{2(v+3)}\) (2)

Theo đề bài, người đó đến sớm hơn dự định 20 phút. Đổi 20 phút ra giờ: \(20 \text{ phút} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) giờ.

Vậy, thời gian thực tế bằng thời gian dự định trừ đi \(\frac{1}{3}\) giờ:

\(t_{thực\_tế} = t_0 – \frac{1}{3} = 4 – \frac{1}{3} = \frac{12-1}{3} = \frac{11}{3}\) (giờ) (3)

Thay (1) vào (2) để loại bỏ \(S\):

\(t_{thực\_tế} = \frac{4v}{2v} + \frac{4v}{2(v+3)}\)

\(t_{thực\_tế} = 2 + \frac{2v}{v+3}\) (4)

Bây giờ, chúng ta cho hai biểu thức của \(t_{thực\_tế}\) là (3) và (4) bằng nhau:

\(2 + \frac{2v}{v+3} = \frac{11}{3}\)

Chuyển số 2 sang vế phải:

\(\frac{2v}{v+3} = \frac{11}{3} – 2\)

\(\frac{2v}{v+3} = \frac{11 – 6}{3}\)

\(\frac{2v}{v+3} = \frac{5}{3}\)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức (tích chéo):

\(3 \cdot (2v) = 5 \cdot (v+3)\)

\(6v = 5v + 15\)

\(6v – 5v = 15\)

\(v = 15\) (km/h)

Vậy, tốc độ dự định là 15 km/h.

Bây giờ, tính quãng đường AB sử dụng giá trị của \(v\):

\(S = 4v = 4 \cdot 15 = 60\) (km)

Đáp số phần a: Tốc độ dự định là 15 km/h. Quãng đường AB là 60 km.

b. Nếu sau khi đi được 1h, do có việc người ấy phải ghé lại mất 30 phút. Hỏi đoạn
đường còn lại người đó phải đi với tốc độ bao nhiêu để đến nơi như dự định?

Chúng ta đã biết:

• Quãng đường AB là \(S = 60\) km.
• Thời gian dự định là \(t_0 = 4\) giờ.
• Vận tốc dự định là \(v = 15\) km/h.

Phân tích hành trình trong trường hợp này:

1. Trong 1 giờ đầu tiên, người đó đi với vận tốc dự định \(v = 15\) km/h.

Quãng đường đi được là \(d_{đi} = 15 \cdot 1 = 15\) km.

Thời gian đã đi là \(1\) giờ.

2. Người đó ghé lại mất 30 phút. Đổi 30 phút ra giờ: \(0.5\) giờ.

Thời gian dừng lại là \(0.5\) giờ.

Tổng thời gian đã trôi qua kể từ lúc bắt đầu xuất phát là \(1 \text{ giờ} + 0.5 \text{ giờ} = 1.5\) giờ.

Để đến nơi đúng như dự định (tức là trong 4 giờ tổng cộng), thời gian còn lại để di chuyển là:

\(t_{còn\_lại} = t_0 – (\text{thời gian đã trôi qua})\)

\(t_{còn\_lại} = 4 – 1.5 = 2.5\) giờ.

Quãng đường còn lại mà người đó cần đi là:

\(S_{còn\_lại} = S – d_{đi}\)

\(S_{còn\_lại} = 60 – 15 = 45\) km.

Để đến nơi đúng dự định, người đó phải đi quãng đường còn lại (\(45\) km) trong thời gian còn lại (\(2.5\) giờ) với một vận tốc mới. Gọi vận tốc này là \(v_{mới}\).

\(v_{mới} = \frac{S_{còn\_lại}}{t_{còn\_lại}}\)

\(v_{mới} = \frac{45}{2.5}\)

\(v_{mới} = \frac{45}{\frac{5}{2}} = \frac{45 \cdot 2}{5} = \frac{90}{5} = 18\) km/h.

Đáp số phần b: Đoạn đường còn lại người đó phải đi với tốc độ 18 km/h để đến nơi như dự định.

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!