Chào các em học sinh lớp 8!

Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài toán về phương trình bậc ba. Mặc dù là phương trình bậc ba, nhưng các em sẽ thấy chúng ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học để giải quyết chúng một cách rất hiệu quả và nhanh chóng!

Để giải phương trình này, các em hãy nhớ lại hằng đẳng thức lập phương của một tổng: \( (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \).

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích phương trình đã cho để tìm \(A\) và \(B\):

• Số hạng đầu tiên là \(x^3\), vậy ta có thể coi \(A = x\).
• Số hạng thứ hai là \(12x^2\). Nếu \(A = x\), thì \(3A^2B = 3x^2B\). Để \(3x^2B = 12x^2\), ta suy ra \(3B = 12\), hay \(B = 4\).
• Kiểm tra với số hạng thứ ba: \(3AB^2 = 3x(4^2) = 3x(16) = 48x\). Điều này hoàn toàn khớp với phương trình của chúng ta!
• Kiểm tra với số hạng tự do: \(B^3 = 4^3 = 64\). Tuy nhiên, trong phương trình đã cho là \(72\).

Chúng ta thấy số \(72\) không phải là \(4^3\), nhưng nó có thể được tách ra thành \(64 + 8\).

Vậy, ta viết lại phương trình như sau:

\(x^3 + 12x^2 + 48x + 64 + 8 = 0\)

Bây giờ, hãy nhóm các số hạng đầu tiên lại, chúng ta sẽ nhận ra hằng đẳng thức:

\((x^3 + 12x^2 + 48x + 64) + 8 = 0\)

Chính xác! Phần trong ngoặc là \((x+4)^3\). Do đó, phương trình trở thành:

\((x+4)^3 + 8 = 0\)

Tiếp theo, chúng ta chuyển số \(8\) sang vế phải:

\((x+4)^3 = -8\)

Để tìm \(x+4\), chúng ta cần tìm một số mà lập phương của nó bằng \(-8\). Chúng ta biết rằng \((-2)^3 = -8\).

Vậy:

\(x+4 = -2\)

Cuối cùng, để tìm \(x\), ta chuyển số \(4\) sang vế phải:

\(x = -2 – 4\)

\(x = -6\)

Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \(x = -6\).

Tương tự như bài a), bài toán này gợi cho chúng ta nhớ đến hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \( (A-B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3 \).

Chúng ta lại phân tích phương trình đã cho:

• Số hạng đầu tiên là \(x^3\), vậy ta có thể coi \(A = x\).
• Số hạng thứ hai là \(-3x^2\). Nếu \(A = x\), thì \(-3A^2B = -3x^2B\). Để \(-3x^2B = -3x^2\), ta suy ra \(B = 1\).
• Kiểm tra với số hạng thứ ba: \(3AB^2 = 3x(1^2) = 3x\). Điều này hoàn toàn khớp với phương trình!
• Kiểm tra với số hạng tự do: \(-B^3 = -(1)^3 = -1\). Tuy nhiên, trong phương trình đã cho là \(-2\).

Chúng ta thấy số \(-2\) không phải là \(-1^3\), nhưng nó có thể được tách ra thành \(-1 – 1\).

Vậy, ta viết lại phương trình như sau:

\(x^3 – 3x^2 + 3x – 1 – 1 = 0\)

Bây giờ, hãy nhóm các số hạng đầu tiên lại, chúng ta sẽ nhận ra hằng đẳng thức:

\((x^3 – 3x^2 + 3x – 1) – 1 = 0\)

Phần trong ngoặc là \((x-1)^3\). Do đó, phương trình trở thành:

\((x-1)^3 – 1 = 0\)

Tiếp theo, chúng ta chuyển số \(-1\) sang vế phải:

\((x-1)^3 = 1\)

Để tìm \(x-1\), chúng ta cần tìm một số mà lập phương của nó bằng \(1\). Chúng ta biết rằng \(1^3 = 1\).

Vậy:

\(x-1 = 1\)

Cuối cùng, để tìm \(x\), ta chuyển số \(-1\) sang vế phải:

\(x = 1 + 1\)

\(x = 2\)

Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \(x = 2\).

Hy vọng phần giải thích chi tiết này giúp các em hiểu rõ hơn về cách ứng dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng phương trình bậc ba đặc biệt này nhé! Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các kỹ năng này!