Bài toán: Một xưởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo dự định mỗi ngày may xong 60 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, xưởng đã may được 120 áo mỗi ngày. Do đó xưởng không những hoàn thành trước thời hạn 8 ngày mà còn may thêm 240 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu áo?

Bước 1: Xác định các đại lượng cần tìm và đặt ẩn.

Trong bài toán này, chúng ta cần tìm số áo mà xưởng phải may theo kế hoạch ban đầu. Ngoài ra, chúng ta cũng cần biết thời gian dự định hoàn thành công việc. Cô sẽ gọi:

• \(x\) là tổng số áo xưởng phải may theo kế hoạch ban đầu (áo).
• \(y\) là thời gian dự định hoàn thành công việc (ngày).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn và lập phương trình.

Dựa vào thông tin đề bài, chúng ta có thể thiết lập các mối quan hệ sau:

Theo dự định ban đầu:

• Năng suất mỗi ngày: 60 áo/ngày.
• Tổng số áo: \(x\) áo.
• Thời gian dự định hoàn thành: \(y\) ngày.

Ta có mối quan hệ: Số áo = Năng suất x Thời gian

Do đó, phương trình đầu tiên là: \(x = 60y\) (1)

Sau khi cải tiến kỹ thuật:

• Năng suất mỗi ngày: 120 áo/ngày.
• Thời gian thực tế hoàn thành: Vì hoàn thành trước thời hạn 8 ngày, nên thời gian thực tế là \(y – 8\) ngày.
• Tổng số áo thực tế may được: Xưởng không những hoàn thành kế hoạch mà còn may thêm 240 áo. Vậy tổng số áo thực tế là \(x + 240\) áo.

Áp dụng công thức Số áo = Năng suất x Thời gian cho trường hợp này, ta có phương trình thứ hai:

\(x + 240 = 120(y – 8)\) (2)

Bước 3: Lập hệ phương trình và giải hệ.

Từ hai phương trình (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:

\[ \begin{cases} x = 60y \\ x + 240 = 120(y – 8) \end{cases} \]

Bây giờ chúng ta sẽ giải hệ phương trình này. Cô sẽ sử dụng phương pháp thế vì phương trình (1) đã cho ta biểu thức của \(x\) theo \(y\).

Thế \(x = 60y\) từ phương trình (1) vào phương trình (2):

\(60y + 240 = 120(y – 8)\)

Giải phương trình này để tìm \(y\):

\(60y + 240 = 120y – 960\)

\(240 + 960 = 120y – 60y\)

\(1200 = 60y\)

\(y = \frac{1200}{60}\)

\(y = 20\) (ngày)

Tìm \(x\) bằng cách thế giá trị của \(y\) vào phương trình (1):

\(x = 60y\)

\(x = 60 \times 20\)

\(x = 1200\) (áo)

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và trả lời câu hỏi.

Chúng ta vừa tìm được \(x = 1200\) áo và \(y = 20\) ngày.

Kiểm tra:

• Theo kế hoạch: May 1200 áo, mỗi ngày 60 áo thì hết \(1200 / 60 = 20\) ngày. Điều này khớp với \(y = 20\).
• Sau cải tiến: May 120 áo/ngày. Thời gian thực tế là \(20 – 8 = 12\) ngày. Tổng số áo may được là \(120 \times 12 = 1440\) áo.
• Số áo thực tế may được là 1440 áo. Số áo theo kế hoạch là 1200 áo. Vậy xưởng đã may thêm \(1440 – 1200 = 240\) áo. Điều này khớp với đề bài.

Trả lời:

Theo kế hoạch, phân xưởng phải may 1200 áo.

Vậy là chúng ta đã giải xong bài toán rồi đó em. Em thấy cách lập hệ phương trình có rõ ràng không nào?