Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán hình học cơ bản về tam giác vuông và đường cao. Đây là dạng bài thường gặp, giúp các em củng cố kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết AB = \(\sqrt{3}\) cm, BC = 2 cm.

a) Tính góc B; C.

b) Tính độ dài các đoạn BH, CH, AH, AC.

—

Lời giải chi tiết:

Trước hết, các em hãy vẽ hình tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Việc vẽ hình chính xác sẽ giúp chúng ta dễ hình dung và áp dụng các công thức một cách đúng đắn.

a) Tính góc B và góc C:

Để tính các góc của tam giác vuông ABC, chúng ta sẽ sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Để tính góc B, chúng ta biết cạnh kề là AB và cạnh huyền là BC. Vậy chúng ta sẽ dùng tỉ số cosin:

\(\cos B = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}\)

Thay số vào, ta được:

\(\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Từ giá trị này, chúng ta suy ra được góc B:

\(B = 30^\circ\)

Tiếp theo, để tính góc C, vì tam giác ABC vuông tại A nên tổng hai góc nhọn B và C bằng \(90^\circ\).

\(B + C = 90^\circ\)

Suy ra:

\(C = 90^\circ – B\)

\(C = 90^\circ – 30^\circ\)

\(C = 60^\circ\)

Vậy, góc B = \(30^\circ\) và góc C = \(60^\circ\).

—

b) Tính độ dài các đoạn BH, CH, AH, AC:

Chúng ta sẽ tính từng đoạn một nhé:

1. Tính độ dài đoạn AC:

Trong tam giác vuông ABC, chúng ta có thể sử dụng định lý Pytago để tính cạnh AC:

\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)

Thay số vào, ta có:

\((\sqrt{3})^2 + AC^2 = 2^2\)

\(3 + AC^2 = 4\)

\(AC^2 = 4 – 3\)

\(AC^2 = 1\)

\(AC = \sqrt{1}\)

\(AC = 1\) cm

2. Tính độ dài đoạn BH:

Để tính BH, chúng ta xét tam giác ABH vuông tại H (vì AH là đường cao).

Chúng ta đã biết AB = \(\sqrt{3}\) cm và góc B = \(30^\circ\).

Sử dụng tỉ số cosin cho góc B trong tam giác ABH:

\(\cos B = \frac{BH}{AB}\)

Suy ra:

\(BH = AB \cdot \cos B\)

\(BH = \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ\)

\(BH = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(BH = \frac{3}{2}\) cm

Hoặc đổi sang số thập phân: \(BH = 1.5\) cm

3. Tính độ dài đoạn CH:

Vì H nằm giữa B và C, nên chúng ta có thể tính CH bằng cách lấy độ dài BC trừ đi độ dài BH:

\(CH = BC – BH\)

\(CH = 2 – \frac{3}{2}\)

\(CH = \frac{4}{2} – \frac{3}{2}\)

\(CH = \frac{1}{2}\) cm

Hoặc đổi sang số thập phân: \(CH = 0.5\) cm

4. Tính độ dài đoạn AH:

Để tính AH, chúng ta có thể dùng nhiều cách. Ở đây, thầy sẽ sử dụng tỉ số sin của góc B trong tam giác ABH vuông tại H:

\(\sin B = \frac{AH}{AB}\)

Suy ra:

\(AH = AB \cdot \sin B\)

\(AH = \sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ\)

\(AH = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}\)

\(AH = \frac{\sqrt{3}}{2}\) cm

*Lưu ý thêm: Các em cũng có thể kiểm tra lại AH bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(AH^2 = BH \cdot CH\).

\(AH^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\)

\(AH = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) cm. Kết quả này hoàn toàn trùng khớp với cách tính trên.

Tóm tắt kết quả:

a) Góc B = \(30^\circ\), Góc C = \(60^\circ\).

b) Độ dài các đoạn thẳng:

• AC = 1 cm
• BH = \(\frac{3}{2}\) cm (hoặc 1.5 cm)
• CH = \(\frac{1}{2}\) cm (hoặc 0.5 cm)
• AH = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cm

—

Hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn cách làm bài toán hình học này. Hãy nhớ ôn tập kỹ các công thức về tỉ số lượng giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông nhé. Chúc các em học tốt!