Chào các em học sinh!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán liên quan đến mệnh đề chứa biến và số chính phương. Đây là một dạng bài rất hay, đòi hỏi chúng ta phải kết hợp kiến thức về đại số và lý thuyết số.

Đề bài: Cho mệnh đề chứa biến:
P(x): x² − 4x + 5 là số chính phương.
Có nhiều nhất bao nhiêu số tự nhiên x để mệnh đề chứa biến đã cho trở thành mệnh đề đúng?

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Giải:

Để mệnh đề P(x) trở thành mệnh đề đúng, thì biểu thức \(x^2 – 4x + 5\) phải là một số chính phương. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể đặt:

\(x^2 – 4x + 5 = k^2\)

trong đó \(k\) là một số nguyên không âm (vì \(k^2\) là số chính phương, nên \(k\) có thể là số nguyên bất kỳ, nhưng ta thường chọn \(k \ge 0\) để đơn giản).

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi phương trình này để tìm các giá trị của \(x\).

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng bình phương của một hiệu.

Chúng ta nhận thấy \(x^2 – 4x + 4\) là một hằng đẳng thức \((x – 2)^2\). Vì vậy, ta có thể viết lại phương trình như sau:

\(x^2 – 4x + 4 + 1 = k^2\)

\((x – 2)^2 + 1 = k^2\)

Bước 2: Chuyển vế để sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Chuyển \(k^2\) sang một vế và các số hạng còn lại sang vế kia:

\(1 = k^2 – (x – 2)^2\)

Đây chính là dạng hiệu hai bình phương \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), với \(a = k\) và \(b = (x – 2)\).

Vậy, ta có:

\(1 = (k – (x – 2))(k + (x – 2))\)

\(1 = (k – x + 2)(k + x – 2)\)

Bước 3: Xét các trường hợp tích của hai số nguyên bằng 1.

Vì \(k\) và \(x\) là các số nguyên, nên \((k – x + 2)\) và \((k + x – 2)\) cũng phải là các số nguyên. Tích của hai số nguyên bằng 1 chỉ xảy ra trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Cả hai thừa số đều bằng 1.

\(\begin{cases} k – x + 2 = 1 \quad (1) \\ k + x – 2 = 1 \quad (2) \end{cases}\)

Cộng hai phương trình (1) và (2) lại, ta được:

\((k – x + 2) + (k + x – 2) = 1 + 1\)

\(2k = 2\)

\(k = 1\)

Thay \(k = 1\) vào phương trình (1):

\(1 – x + 2 = 1\)

\(3 – x = 1\)

\(x = 2\)

Kiểm tra: Nếu \(x = 2\), thì \(x^2 – 4x + 5 = 2^2 – 4(2) + 5 = 4 – 8 + 5 = 1\). Số 1 là số chính phương \((1^2)\). Giá trị \(x = 2\) là một số tự nhiên. Vậy \(x = 2\) là một nghiệm.

Trường hợp 2: Cả hai thừa số đều bằng -1.

\(\begin{cases} k – x + 2 = -1 \quad (3) \\ k + x – 2 = -1 \quad (4) \end{cases}\)

Cộng hai phương trình (3) và (4) lại, ta được:

\((k – x + 2) + (k + x – 2) = -1 + (-1)\)

\(2k = -2\)

\(k = -1\)

Thay \(k = -1\) vào phương trình (3):

\(-1 – x + 2 = -1\)

\(1 – x = -1\)

\(x = 2\)

Kiểm tra: Nếu \(x = 2\), thì \(x^2 – 4x + 5 = 1\), là số chính phương \((-1)^2\). Giá trị \(x = 2\) là một số tự nhiên. Trường hợp này cũng cho ta nghiệm \(x=2\).

Bước 4: Kết luận.

Qua cả hai trường hợp, chúng ta chỉ tìm được duy nhất một giá trị của \(x\) là \(x = 2\).

Giá trị \(x = 2\) là một số tự nhiên (các số tự nhiên bao gồm 0, 1, 2, 3, …).

Vậy, chỉ có 1 số tự nhiên \(x\) để mệnh đề chứa biến đã cho trở thành mệnh đề đúng.

Trả lời: Có nhiều nhất 1 số tự nhiên x để mệnh đề chứa biến đã cho trở thành mệnh đề đúng.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự nhé!