Bài toán: Cho hàm số \( y = (m+2)x^2 \) với \( m \neq -2 \). Tìm \( m \) để:

a) Hàm số có giá trị lớn nhất là 0.

b) Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.

Lời giải:

Chúng ta xét hàm số bậc hai có dạng tổng quát là \( y = ax^2 \). Trong bài toán này, hệ số của \( x^2 \) là \( a = m+2 \).

Xét trường hợp a): Hàm số có giá trị lớn nhất là 0.

Để hàm số \( y = ax^2 \) có giá trị lớn nhất, ta cần có hệ số \( a < 0 \). Khi đó, đồ thị hàm số là một parabol quay bề lõm xuống dưới và đỉnh của nó chính là điểm có giá trị lớn nhất.

Trong trường hợp này, giá trị lớn nhất chính là giá trị tại đỉnh. Đỉnh của hàm số \( y = ax^2 \) luôn nằm tại gốc tọa độ \( (0,0) \). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là 0.

Vậy, để hàm số \( y = (m+2)x^2 \) có giá trị lớn nhất là 0, ta cần có điều kiện sau:

\( a < 0 \)

Tức là:

\( m+2 < 0 \)

Chuyển vế, ta được:

\( m < -2 \)

Vậy, với \( m < -2 \), hàm số đã cho có giá trị lớn nhất là 0.

Xét trường hợp b): Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.

Để hàm số \( y = ax^2 \) có giá trị nhỏ nhất, ta cần có hệ số \( a > 0 \). Khi đó, đồ thị hàm số là một parabol quay bề lõm lên trên và đỉnh của nó chính là điểm có giá trị nhỏ nhất.

Tương tự như trường hợp trên, đỉnh của hàm số \( y = ax^2 \) luôn nằm tại gốc tọa độ \( (0,0) \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.

Vậy, để hàm số \( y = (m+2)x^2 \) có giá trị nhỏ nhất là 0, ta cần có điều kiện sau:

\( a > 0 \)

Tức là:

\( m+2 > 0 \)

Chuyển vế, ta được:

\( m > -2 \)

Vậy, với \( m > -2 \), hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất là 0.

Tóm lại:

a) Để hàm số có giá trị lớn nhất là 0, ta cần \( m < -2 \).

b) Để hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0, ta cần \( m > -2 \).

Các em có câu hỏi nào không? Nếu có, hãy mạnh dạn đặt câu hỏi nhé. Buổi học của chúng ta hôm nay kết thúc tại đây.