Chào các em học sinh lớp 8!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phương trình chứa căn bậc ba. Đây là một dạng bài khá thú vị và đòi hỏi sự khéo léo trong biến đổi.

Đề bài: Giải phương trình

\( \sqrt[3]{3x+5} + \sqrt[3]{4-3x} = 3 \)

Lời giải chi tiết:

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp này giúp chúng ta đưa về một hệ phương trình đơn giản hơn.

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Chúng ta đặt các biểu thức dưới dấu căn thành các ẩn mới để đơn giản hóa phương trình:

\( a = \sqrt[3]{3x+5} \)

\( b = \sqrt[3]{4-3x} \)

Khi đó, phương trình ban đầu của chúng ta trở thành:

\( a + b = 3 \)

Bây giờ, chúng ta hãy lập phương (mũ 3) cả hai vế của các biểu thức \( a \) và \( b \) để loại bỏ dấu căn bậc ba:

\( a^3 = (\sqrt[3]{3x+5})^3 \Rightarrow a^3 = 3x+5 \)

\( b^3 = (\sqrt[3]{4-3x})^3 \Rightarrow b^3 = 4-3x \)

Tiếp theo, chúng ta cộng hai phương trình \( a^3 \) và \( b^3 \) vừa tìm được lại với nhau. Điều này sẽ giúp loại bỏ biến \( x \):

\( a^3 + b^3 = (3x+5) + (4-3x) \)

\( a^3 + b^3 = 3x+5+4-3x \)

\( a^3 + b^3 = 9 \)

Vậy, chúng ta đã đưa bài toán về việc giải một hệ phương trình với hai ẩn \( a \) và \( b \):

1. \( a + b = 3 \)

2. \( a^3 + b^3 = 9 \)

Bước 2: Giải hệ phương trình với ẩn \( a \) và \( b \)

Chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ cho tổng hai lập phương: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \).

Thay các giá trị \( a+b=3 \) và \( a^3+b^3=9 \) vào hằng đẳng thức này:

\( 9 = (3)(a^2 – ab + b^2) \)

Để tìm giá trị của biểu thức trong ngoặc, chúng ta chia cả hai vế cho 3:

\( a^2 – ab + b^2 = \frac{9}{3} \)

\( a^2 – ab + b^2 = 3 \quad \mathbf{(I)} \)

Bây giờ, chúng ta quay lại phương trình đầu tiên của hệ: \( a+b=3 \). Chúng ta sẽ bình phương cả hai vế của phương trình này:

\( (a+b)^2 = 3^2 \)

\( a^2 + 2ab + b^2 = 9 \quad \mathbf{(II)} \)

Chúng ta đã có hai phương trình \(\mathbf{(I)}\) và \(\mathbf{(II)}\):

\(\mathbf{(I)}\): \( a^2 – ab + b^2 = 3 \)

\(\mathbf{(II)}\): \( a^2 + 2ab + b^2 = 9 \)

Để tìm giá trị của tích \( ab \), chúng ta lấy phương trình \(\mathbf{(II)}\) trừ đi phương trình \(\mathbf{(I)}\):

\( (a^2 + 2ab + b^2) – (a^2 – ab + b^2) = 9 – 3 \)

\( a^2 + 2ab + b^2 – a^2 + ab – b^2 = 6 \)

\( 3ab = 6 \)

\( ab = \frac{6}{3} \)

\( ab = 2 \)

Vậy, chúng ta có một hệ phương trình đơn giản hơn nữa:

1. \( a + b = 3 \)

2. \( ab = 2 \)

Theo định lý Vi-ét đảo, \( a \) và \( b \) là hai nghiệm của phương trình bậc hai có dạng \( t^2 – (a+b)t + ab = 0 \).

Thay các giá trị \( a+b=3 \) và \( ab=2 \) vào, ta được:

\( t^2 – 3t + 2 = 0 \)

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta có thể phân tích thành nhân tử:

\( (t-1)(t-2) = 0 \)

Từ đó, ta tìm được hai nghiệm của \( t \):

\( t_1 = 1 \) hoặc \( t_2 = 2 \)

Điều này có nghĩa là có hai trường hợp cho các giá trị của \( a \) và \( b \):

Trường hợp 1: \( a = 1 \) và \( b = 2 \)

Trường hợp 2: \( a = 2 \) và \( b = 1 \)

Bước 3: Thay \( a \) và \( b \) trở lại để tìm \( x \)

Trường hợp 1: \( a = 1 \) và \( b = 2 \)

Với \( a = 1 \), chúng ta có:

\( \sqrt[3]{3x+5} = 1 \)

Lập phương cả hai vế để loại bỏ dấu căn:

\( (\sqrt[3]{3x+5})^3 = 1^3 \)

\( 3x+5 = 1 \)

\( 3x = 1 – 5 \)

\( 3x = -4 \)

\( x = -\frac{4}{3} \)

Để kiểm tra tính nhất quán, chúng ta cũng thay \( b=2 \) vào biểu thức của \( b \):

\( \sqrt[3]{4-3x} = 2 \)

Lập phương cả hai vế:

\( (\sqrt[3]{4-3x})^3 = 2^3 \)

\( 4-3x = 8 \)

\( -3x = 8 – 4 \)

\( -3x = 4 \)

\( x = -\frac{4}{3} \)

Hai giá trị của \( x \) tìm được trùng khớp nhau, vậy \( x = -\frac{4}{3} \) là một nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \( a = 2 \) và \( b = 1 \)

Với \( a = 2 \), chúng ta có:

\( \sqrt[3]{3x+5} = 2 \)

Lập phương cả hai vế:

\( (\sqrt[3]{3x+5})^3 = 2^3 \)

\( 3x+5 = 8 \)

\( 3x = 8 – 5 \)

\( 3x = 3 \)

\( x = 1 \)

Để kiểm tra tính nhất quán, chúng ta cũng thay \( b=1 \) vào biểu thức của \( b \):

\( \sqrt[3]{4-3x} = 1 \)

Lập phương cả hai vế:

\( (\sqrt[3]{4-3x})^3 = 1^3 \)

\( 4-3x = 1 \)

\( -3x = 1 – 4 \)

\( -3x = -3 \)

\( x = 1 \)

Hai giá trị của \( x \) tìm được trùng khớp nhau, vậy \( x = 1 \) cũng là một nghiệm của phương trình.

Bước 4: Kết luận

Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là \( S = \{ -\frac{4}{3}; 1 \} \).

Các em có thể tự kiểm tra lại các nghiệm này bằng cách thay vào phương trình gốc để chắc chắn nhé!

Chúc các em học tốt!