Bài toán: Cho hàm số \(y = \frac{x^2 + mx – 1}{x + m}\), với \(m\) là tham số thực dương.

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{-m\}\)
b) Trên đoạn \([2; 4]\) thì đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị dương
c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([2; 4]\) là \(\min_{[2; 4]} y = y(2)\)
d) Chỉ có duy nhất một giá trị của tham số \(m\) để \(\min_{[2; 4]} y = \frac{9}{5}\).

Chúng ta sẽ đi qua từng phần của bài toán.

Phần a) Tìm tập xác định của hàm số.

Để tìm tập xác định của hàm số phân thức, chúng ta cần đảm bảo mẫu số phải khác 0.
Trong trường hợp này, mẫu số là \(x + m\).
Do đó, ta cần \(x + m \neq 0\).
Điều này tương đương với \(x \neq -m\).
Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{-m\}\).
Phần a) đã được chứng minh.

Phần b) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên đoạn [2; 4].

Trước hết, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \(y\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương, ta có:
\(y’ = \frac{(2x + m)(x + m) – (x^2 + mx – 1)(1)}{(x + m)^2}\)

Ta khai triển tử số:
Tử số = \((2x^2 + 2mx + mx + m^2) – (x^2 + mx – 1)\)
Tử số = \(2x^2 + 3mx + m^2 – x^2 – mx + 1\)
Tử số = \(x^2 + 2mx + m^2 + 1\)

Vậy, \(y’ = \frac{x^2 + 2mx + m^2 + 1}{(x + m)^2}\).

Bây giờ, chúng ta cần xét dấu của \(y’\) trên đoạn \([2; 4]\).
Ta quan sát mẫu số \((x + m)^2\). Vì \(m > 0\) và \(x \in [2; 4]\) nên \(x > 0\). Do đó, \(x + m > 0\), suy ra \((x + m)^2 > 0\) với mọi \(x \in [2; 4]\).

Tiếp theo, ta xét dấu của tử số: \(x^2 + 2mx + m^2 + 1\).
Đây là một tam thức bậc hai theo biến \(x\).
Chúng ta có thể nhận xét rằng \(x^2 \ge 0\), \(2mx \ge 0\) (vì \(x \ge 2\) và \(m > 0\)), \(m^2 > 0\), và \(1 > 0\).
Do đó, \(x^2 + 2mx + m^2 + 1 > 0\) với mọi \(x \in [2; 4]\) và \(m > 0\).

Hoặc, ta có thể nhìn tử số dưới dạng \((x+m)^2 + 1\).
Vì \(x \in [2; 4]\) và \(m > 0\), nên \(x+m > 0\). Do đó, \((x+m)^2 > 0\).
Suy ra, \((x+m)^2 + 1 > 0\).

Vì cả tử số và mẫu số đều dương trên đoạn \([2; 4]\), nên đạo hàm \(y’ > 0\) trên đoạn \([2; 4]\).
Phần b) đã được chứng minh.

Phần c) Chứng minh giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2; 4] là min_{[2; 4]} y = y(2).

Từ phần b), chúng ta đã chứng minh được \(y’ > 0\) trên đoạn \([2; 4]\).
Điều này có nghĩa là hàm số \(y\) đồng biến trên đoạn \([2; 4]\).
Khi một hàm số đồng biến trên một đoạn, giá trị lớn nhất của nó sẽ đạt được tại điểm cuối bên phải của đoạn, và giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại điểm cuối bên trái của đoạn.
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chứng minh “Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([2; 4]\) là \(\min_{[2; 4]} y = y(2)\)”.
Đây có lẽ là một sự nhầm lẫn trong đề bài. Nếu hàm số đồng biến, thì giá trị lớn nhất phải là tại \(y(4)\) và giá trị nhỏ nhất là tại \(y(2)\).

Giả sử đề bài muốn hỏi về giá trị nhỏ nhất, thì phát biểu sẽ là:
“Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([2; 4]\) là \(\min_{[2; 4]} y = y(2)\)”.
Vì hàm số \(y\) đồng biến trên \([2; 4]\) (do \(y’ > 0\)), nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này đạt được tại điểm đầu mút bên trái, tức là tại \(x = 2\).
Do đó, \(\min_{[2; 4]} y = y(2)\).
Phần c) này, nếu hiểu theo hướng giá trị nhỏ nhất, đã được chứng minh.
Nếu đề bài thực sự muốn nói về giá trị lớn nhất và viết nhầm \(\min\) thay vì \(\max\), thì \(\max_{[2; 4]} y = y(4)\).

Chúng ta sẽ tiếp tục với phần d) dựa trên giả định rằng giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([2; 4]\) là \(y(2)\).

Phần d) Tìm giá trị của tham số m để \(\min_{[2; 4]} y = \frac{9}{5}\).

Dựa trên phần c), chúng ta có \(\min_{[2; 4]} y = y(2)\).
Ta cần tính giá trị của \(y(2)\):
\(y(2) = \frac{2^2 + m(2) – 1}{2 + m} = \frac{4 + 2m – 1}{2 + m} = \frac{2m + 3}{m + 2}\).

Theo đề bài, ta có \(\min_{[2; 4]} y = \frac{9}{5}\).
Do đó, ta cần giải phương trình:
\(\frac{2m + 3}{m + 2} = \frac{9}{5}\)

Nhân chéo hai vế:
\(5(2m + 3) = 9(m + 2)\)
\(10m + 15 = 9m + 18\)

Chuyển các hạng tử chứa \(m\) về một vế và hằng số về một vế:
\(10m – 9m = 18 – 15\)
\(m = 3\)

Chúng ta cần kiểm tra xem giá trị \(m = 3\) có thỏa mãn điều kiện \(m\) là tham số thực dương không.
Rõ ràng, \(m = 3\) là một số thực dương.

Bây giờ, chúng ta cần xác nhận rằng chỉ có DUY NHẤT một giá trị của \(m\).
Phương trình \(\frac{2m + 3}{m + 2} = \frac{9}{5}\) đã dẫn đến một phương trình bậc nhất đối với \(m\), và phương trình này luôn có nghiệm duy nhất là \(m=3\).
Chúng ta cũng cần đảm bảo rằng \(m \neq -2\) để mẫu số \(m+2\) khác 0. Giá trị \(m=3\) thỏa mãn điều này.
Ngoài ra, tập xác định của hàm số là \(x \neq -m\). Với \(m=3\), tập xác định là \(x \neq -3\), điều này không ảnh hưởng đến đoạn \([2; 4]\).

Do đó, chỉ có duy nhất một giá trị của tham số \(m\) là \(m = 3\) để \(\min_{[2; 4]} y = \frac{9}{5}\).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán. Các em thấy thế nào? Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải nắm vững kiến thức về đạo hàm, tính đơn điệu của hàm số và giải phương trình.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé!