Kính chào các em học sinh! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán về tìm giá trị lớn nhất của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối. Đây là một dạng bài khá hay và thường gặp trong các đề thi.

Đề bài: Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = f(x) = |4x – m| – x^2\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(5?\)

Lời giải chi tiết:

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = |4x – m| – x^2\), chúng ta cần xét hai trường hợp của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

Trường hợp 1: \(4x – m \ge 0 \implies x \ge \frac{m}{4}\)

Trong trường hợp này, \(f(x) = (4x – m) – x^2 = -x^2 + 4x – m\).

Đây là một hàm số bậc hai có đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới (vì hệ số của \(x^2\) là \(-1\)). Đỉnh của parabol này sẽ là điểm đạt giá trị lớn nhất (cực đại cục bộ) trên miền xác định của nó.

Hoành độ đỉnh của parabol là \(x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2\).

Giá trị của hàm số tại đỉnh là \(f(2) = -(2)^2 + 4(2) – m = -4 + 8 – m = 4 – m\).

Để \(f(2)\) là một ứng cử viên cho giá trị lớn nhất, điểm \(x=2\) phải thuộc miền xác định của trường hợp này, tức là \(2 \ge \frac{m}{4} \implies 8 \ge m \implies m \le 8\).

Trường hợp 2: \(4x – m < 0 \implies x < \frac{m}{4}\)

Trong trường hợp này, \(f(x) = -(4x – m) – x^2 = -4x + m – x^2 = -x^2 – 4x + m\).

Đây cũng là một hàm số bậc hai có đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới. Đỉnh của parabol này cũng sẽ là điểm đạt giá trị lớn nhất (cực đại cục bộ) trên miền xác định của nó.

Hoành độ đỉnh của parabol là \(x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2\).

Giá trị của hàm số tại đỉnh là \(f(-2) = -(-2)^2 – 4(-2) + m = -4 + 8 + m = 4 + m\).

Để \(f(-2)\) là một ứng cử viên cho giá trị lớn nhất, điểm \(x=-2\) phải thuộc miền xác định của trường hợp này, tức là \(-2 < \frac{m}{4} \implies -8 < m \implies m > -8\).

Phân tích để tìm giá trị lớn nhất toàn cục:

Hàm số \(f(x) = |4x – m| – x^2\) là hàm số liên tục trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\).

Các điểm cực đại tiềm năng của hàm số có thể xảy ra tại các đỉnh của parabol hoặc tại điểm nối \(x = \frac{m}{4}\).

Tại điểm nối \(x = \frac{m}{4}\), giá trị của hàm số là \(f\left(\frac{m}{4}\right) = \left|4\left(\frac{m}{4}\right) – m\right| – \left(\frac{m}{4}\right)^2 = |m – m| – \frac{m^2}{16} = 0 – \frac{m^2}{16} = -\frac{m^2}{16}\).

Nếu giá trị lớn nhất của hàm số là \(5\), thì \(-\frac{m^2}{16} = 5 \implies m^2 = -80\), điều này vô lí vì \(m^2 \ge 0\). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số không thể xảy ra tại điểm nối \(x = \frac{m}{4}\).

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số phải là một trong hai giá trị \(f(2) = 4 – m\) hoặc \(f(-2) = 4 + m\).

Chúng ta sẽ xét các trường hợp sau để tìm giá trị của \(m\):

Trường hợp A: Giá trị lớn nhất của hàm số là \(f(2) = 4 – m\).

Điều này xảy ra khi \(4 – m = 5 \implies m = -1\).

Chúng ta cần kiểm tra điều kiện của \(m\) trong trường hợp này: \(m \le 8\). Vì \(-1 \le 8\), điều kiện này được thỏa mãn.

Ngoài ra, giá trị \(f(2)\) phải lớn hơn hoặc bằng giá trị \(f(-2)\) (nếu \(x=-2\) nằm trong miền xác định của nó).

Với \(m = -1\), ta có \(\frac{m}{4} = -\frac{1}{4}\).

• Với \(x \ge -\frac{1}{4}\), \(f(x) = -x^2 + 4x – (-1) = -x^2 + 4x + 1\). Đỉnh tại \(x=2\), \(f(2) = 5\). Vì \(2 \ge -\frac{1}{4}\), \(x=2\) thuộc miền này.
• Với \(x < -\frac{1}{4}\), \(f(x) = -x^2 - 4x + (-1) = -x^2 - 4x - 1\). Đỉnh tại \(x=-2\), \(f(-2) = 4 + (-1) = 3\). Vì \(-2 < -\frac{1}{4}\), \(x=-2\) thuộc miền này.

So sánh hai giá trị cực đại cục bộ: \(f(2) = 5\) và \(f(-2) = 3\). Rõ ràng \(5 > 3\).

Vậy, khi \(m = -1\), giá trị lớn nhất của hàm số là \(5\).

Do đó, \(m = -1\) là một giá trị thỏa mãn.

Trường hợp B: Giá trị lớn nhất của hàm số là \(f(-2) = 4 + m\).

Điều này xảy ra khi \(4 + m = 5 \implies m = 1\).

Chúng ta cần kiểm tra điều kiện của \(m\) trong trường hợp này: \(m > -8\). Vì \(1 > -8\), điều kiện này được thỏa mãn.

Ngoài ra, giá trị \(f(-2)\) phải lớn hơn hoặc bằng giá trị \(f(2)\) (nếu \(x=2\) nằm trong miền xác định của nó).

Với \(m = 1\), ta có \(\frac{m}{4} = \frac{1}{4}\).

• Với \(x \ge \frac{1}{4}\), \(f(x) = -x^2 + 4x – 1\). Đỉnh tại \(x=2\), \(f(2) = 4 – 1 = 3\). Vì \(2 \ge \frac{1}{4}\), \(x=2\) thuộc miền này.
• Với \(x < \frac{1}{4}\), \(f(x) = -x^2 - 4x + 1\). Đỉnh tại \(x=-2\), \(f(-2) = 4 + 1 = 5\). Vì \(-2 < \frac{1}{4}\), \(x=-2\) thuộc miền này.

So sánh hai giá trị cực đại cục bộ: \(f(2) = 3\) và \(f(-2) = 5\). Rõ ràng \(5 > 3\).

Vậy, khi \(m = 1\), giá trị lớn nhất của hàm số là \(5\).

Do đó, \(m = 1\) là một giá trị thỏa mãn.

Chúng ta đã tìm được hai giá trị của \(m\) là \(-1\) và \(1\).

Kết luận:

Có \(2\) giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = f(x) = |4x – m| – x^2\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(5\), đó là \(m = -1\) và \(m = 1\).

Hy vọng phần giải thích này giúp các em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!