Câu 13. Một cửa hàng bán máy xay sinh tố có giá nhập vào là 5 triệu đồng mỗi chiếc và bán ra với giá 8 triệu đồng. Dự kiến, cửa hàng bán được 1500 chiếc mỗi năm với giá bán hiện tại. Để thu hút thêm khách hàng, cửa hàng quyết định giảm giá và ước tính rằng mỗi lần giảm giá 500 nghìn đồng, số lượng máy xay bán ra sẽ tăng 200 chiếc. Hỏi cửa hàng cần bán với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận cao nhất?

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết và ẩn số

Giá nhập vào của mỗi máy: \(G_{nhap} = 5,000,000\) đồng.
Giá bán ban đầu: \(G_{ban\_dau} = 8,000,000\) đồng.
Số lượng bán ban đầu: \(Q_{ban\_dau} = 1500\) chiếc.
Mỗi lần giảm giá: \(500,000\) đồng.
Số lượng máy bán ra tăng thêm mỗi lần giảm giá: \(200\) chiếc.

Chúng ta cần tìm giá bán để đạt được lợi nhuận cao nhất.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo một biến số

Gọi \(x\) là số lần cửa hàng giảm giá. Vì cửa hàng “quyết định giảm giá”, nên \(x\) phải là số nguyên không âm (hay \(x \ge 0\)).

1. Giá bán mới \(G(x)\) (sau khi giảm giá \(x\) lần):
Mỗi lần giảm giá 500.000 đồng, nên sau \(x\) lần giảm, tổng số tiền giảm là \(x \times 500,000\) đồng.
\(G(x) = G_{ban\_dau} – x \times 500,000\)
\(G(x) = 8,000,000 – 500,000x\) (đồng/chiếc)

2. Số lượng máy bán được \(Q(x)\) (sau khi giảm giá \(x\) lần):
Mỗi lần giảm giá, số lượng bán tăng 200 chiếc. Sau \(x\) lần giảm giá, số lượng tăng thêm là \(x \times 200\) chiếc.
\(Q(x) = Q_{ban\_dau} + x \times 200\)
\(Q(x) = 1500 + 200x\) (chiếc)

3. Lợi nhuận trên mỗi chiếc máy \(L_{moi\_chiec}(x)\):
Lợi nhuận trên mỗi chiếc = Giá bán mới – Giá nhập vào
\(L_{moi\_chiec}(x) = G(x) – G_{nhap}\)
\(L_{moi\_chiec}(x) = (8,000,000 – 500,000x) – 5,000,000\)
\(L_{moi\_chiec}(x) = 3,000,000 – 500,000x\) (đồng/chiếc)

4. Tổng lợi nhuận \(L(x)\) của cửa hàng:
Tổng lợi nhuận = Lợi nhuận trên mỗi chiếc \(\times\) Số lượng máy bán được
\(L(x) = L_{moi\_chiec}(x) \times Q(x)\)
\(L(x) = (3,000,000 – 500,000x) \times (1500 + 200x)\)

Bước 3: Rút gọn và phân tích hàm lợi nhuận

Để tìm giá trị lớn nhất của \(L(x)\), chúng ta cần rút gọn biểu thức này:
\(L(x) = (3,000,000 – 500,000x) \times (1500 + 200x)\)

Chúng ta có thể rút gọn các thừa số chung để làm việc với các số nhỏ hơn:
\(L(x) = 500,000 \times (6 – x) \times 100 \times (15 + 2x)\)
\(L(x) = 50,000,000 \times (6 – x)(15 + 2x)\)

Bây giờ, chúng ta khai triển biểu thức \((6 – x)(15 + 2x)\):
\((6 – x)(15 + 2x) = 6 \times 15 + 6 \times 2x – x \times 15 – x \times 2x\)
\(= 90 + 12x – 15x – 2x^2\)
\(= -2x^2 – 3x + 90\)

Thay vào biểu thức của \(L(x)\):
\(L(x) = 50,000,000 \times (-2x^2 – 3x + 90)\)
\(L(x) = -100,000,000x^2 – 150,000,000x + 4,500,000,000\)

Đây là một hàm số bậc hai có dạng \(y = ax^2 + bx + c\) với \(a = -100,000,000\), \(b = -150,000,000\) và \(c = 4,500,000,000\).
Vì hệ số \(a < 0\), đồ thị của hàm số này là một parabol quay bề lõm xuống dưới, do đó nó có một điểm cực đại (giá trị lớn nhất) tại đỉnh parabol.

Bước 4: Tìm giá trị \(x\) để lợi nhuận đạt cao nhất

Hoành độ đỉnh của parabol được tính bằng công thức: \(x = \frac{-b}{2a}\)
\(x = \frac{-(-150,000,000)}{2 \times (-100,000,000)}\)
\(x = \frac{150,000,000}{-200,000,000}\)
\(x = \frac{-15}{20} = -\frac{3}{4} = -0.75\)

Theo tính toán, lợi nhuận đạt cao nhất khi \(x = -0.75\). Tuy nhiên, \(x\) là số lần giảm giá, nên \(x\) phải là một số nguyên không âm (\(x \ge 0\)).

Vì hoành độ đỉnh \(x = -0.75\) nằm ngoài miền xác định \(x \ge 0\), và vì parabol quay xuống dưới (\(a < 0\)), hàm số \(L(x)\) sẽ giảm khi \(x\) tăng từ \(x = -0.75\) trở đi.
Do đó, trong miền \(x \ge 0\), giá trị lớn nhất của \(L(x)\) sẽ đạt được tại giá trị \(x\) nhỏ nhất có thể trong miền đó, tức là tại \(x = 0\).

Bước 5: Kết luận về giá bán và lợi nhuận cao nhất

Khi \(x = 0\), tức là cửa hàng không thực hiện giảm giá nào:
Giá bán cần thiết để đạt lợi nhuận cao nhất là giá bán ban đầu:
\(G(0) = 8,000,000 – 500,000 \times 0 = 8,000,000\) đồng.

Số lượng máy bán được khi đó là:
\(Q(0) = 1500 + 200 \times 0 = 1500\) chiếc.

Lợi nhuận cao nhất đạt được là:
\(L(0) = (8,000,000 – 5,000,000) \times 1500 = 3,000,000 \times 1500 = 4,500,000,000\) đồng.

Vậy, cửa hàng cần bán với giá 8,000,000 đồng để đạt được lợi nhuận cao nhất là 4,500,000,000 đồng mỗi năm.

Lưu ý thêm: Nếu bài toán không có điều kiện “cửa hàng quyết định giảm giá” (tức là \(x\) có thể là số âm, nghĩa là tăng giá), thì giá bán tối ưu sẽ được tính từ \(x = -1\) (là số nguyên gần nhất với \(-0.75\)). Khi đó:
Giá bán: \(8,000,000 – 500,000 \times (-1) = 8,500,000\) đồng.
Số lượng: \(1500 + 200 \times (-1) = 1300\) chiếc.
Lợi nhuận: \((8,500,000 – 5,000,000) \times 1300 = 3,500,000 \times 1300 = 4,550,000,000\) đồng.
Tuy nhiên, với đề bài đã cho rõ “quyết định giảm giá”, thì \(x \ge 0\) là hợp lý nhất.