Bài toán 1: Với n là số tự nhiên chẵn. Chứng minh rằng: \(22^{22} + 55^{55} \vdots 7\).

Trước hết, các em lưu ý rằng trong bài toán này, mặc dù có câu “Với n là số tự nhiên chẵn”, nhưng biến “n” không xuất hiện trong biểu thức cần chứng minh. Vì vậy, chúng ta sẽ tập trung vào việc chứng minh \(22^{22} + 55^{55}\) chia hết cho 7 mà không phụ thuộc vào “n”.

Để chứng minh một tổng chia hết cho một số, chúng ta thường sử dụng phương pháp đồng dư thức (hay còn gọi là mô-đun). Mục tiêu của chúng ta là chứng minh \(22^{22} + 55^{55} \equiv 0 \pmod 7\).

Chúng ta sẽ xét từng số hạng một:

Bước 1: Xét số hạng \(22^{22}\)

Đầu tiên, chúng ta tìm số dư của cơ số 22 khi chia cho 7:

\(22 = 3 \times 7 + 1\)

Vậy, \(22 \equiv 1 \pmod 7\).

Với tính chất của đồng dư thức, nếu \(a \equiv b \pmod m\) thì \(a^k \equiv b^k \pmod m\). Áp dụng vào trường hợp này:

\(22^{22} \equiv 1^{22} \pmod 7\)

Vì \(1\) mũ bất kỳ số nào cũng bằng \(1\), nên:

\(22^{22} \equiv 1 \pmod 7\)

Bước 2: Xét số hạng \(55^{55}\)

Tương tự, chúng ta tìm số dư của cơ số 55 khi chia cho 7:

\(55 = 7 \times 7 + 6\)

Vậy, \(55 \equiv 6 \pmod 7\).

Một cách khác để biểu diễn 6 khi chia cho 7 là \(-1\), vì \(6 = 7 – 1\). Do đó, chúng ta có thể viết:

\(55 \equiv -1 \pmod 7\)

Bây giờ, chúng ta áp dụng tính chất đồng dư thức cho lũy thừa:

\(55^{55} \equiv (-1)^{55} \pmod 7\)

Vì số mũ 55 là một số lẻ, \((-1)^{55}\) sẽ bằng \(-1\).

Vậy, \(55^{55} \equiv -1 \pmod 7\)

Bước 3: Tổng hợp kết quả

Chúng ta đã có:

• \(22^{22} \equiv 1 \pmod 7\)
• \(55^{55} \equiv -1 \pmod 7\)

Cộng hai đồng dư thức này lại:

\(22^{22} + 55^{55} \equiv 1 + (-1) \pmod 7\)

\(22^{22} + 55^{55} \equiv 0 \pmod 7\)

Kết luận:

Vì \(22^{22} + 55^{55}\) đồng dư với \(0\) theo mô-đun \(7\), điều này có nghĩa là tổng \(22^{22} + 55^{55}\) chia hết cho \(7\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được: \(22^{22} + 55^{55} \vdots 7\).

Thầy/cô hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách áp dụng đồng dư thức để giải quyết các bài toán chia hết. Chúc các em học tốt!