Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm điều kiện của tham số \(m\) để hệ có nghiệm duy nhất, sau đó chứng minh rằng điểm có tọa độ là nghiệm \((x;y)\) đó luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Đề bài: Tìm \(m\) để hệ phương trình \(x + my = m + 1\) và \(mx + y = 3m – 1\) có nghiệm duy nhất \((x;y)\). Chứng minh rằng điểm có tọa độ \((x;y)\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

—

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo từng bước một:

Bước 1: Tìm điều kiện của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình đã cho có dạng tổng quát là:

\(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)

Trong đó:

• Phương trình thứ nhất: \(x + my = m + 1\) có \(a_1 = 1\), \(b_1 = m\), \(c_1 = m + 1\).
• Phương trình thứ hai: \(mx + y = 3m – 1\) có \(a_2 = m\), \(b_2 = 1\), \(c_2 = 3m – 1\).

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tỉ số các hệ số của \(x\) và \(y\) không bằng nhau, tức là:

\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)

Hoặc một cách khác, ta xét định thức của hệ (mà các em sẽ học kĩ hơn ở cấp trên, nhưng ở đây ta có thể hiểu là điều kiện để các đường thẳng không song song hoặc trùng nhau):

\(a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0\)

Áp dụng vào hệ phương trình của chúng ta:

\(1 \cdot 1 – m \cdot m \neq 0\)

\(1 – m^2 \neq 0\)

\(m^2 \neq 1\)

Điều này có nghĩa là \(m \neq 1\) và \(m \neq -1\).

Kết luận Bước 1: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \neq 1\) và \(m \neq -1\).

Bước 2: Tìm nghiệm \((x;y)\) của hệ phương trình theo \(m\).

Để chứng minh điểm \((x;y)\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định, chúng ta cần tìm biểu thức của \(x\) và \(y\) theo \(m\). Chúng ta có thể sử dụng phương pháp cộng đại số (khử biến) hoặc phương pháp thế.

Hệ phương trình là:

\(\begin{cases} x + my = m + 1 \quad (1) \\ mx + y = 3m – 1 \quad (2) \end{cases}\)

Tìm \(x\):

Nhân phương trình (2) với \(m\) để hệ số của \(y\) giống phương trình (1):

\(\begin{cases} x + my = m + 1 \\ m(mx + y) = m(3m – 1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} x + my = m + 1 \quad (1) \\ m^2x + my = 3m^2 – m \quad (2′) \end{cases}\)

Lấy phương trình \((2′)\) trừ phương trình \((1)\) vế theo vế:

\((m^2x + my) – (x + my) = (3m^2 – m) – (m + 1)\)

\(m^2x – x = 3m^2 – m – m – 1\)

\((m^2 – 1)x = 3m^2 – 2m – 1\)

Vì \(m \neq 1\) và \(m \neq -1\) nên \(m^2 – 1 \neq 0\). Ta có thể chia cả hai vế cho \((m^2 – 1)\):

\(x = \frac{3m^2 – 2m – 1}{m^2 – 1}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để rút gọn:

• Mẫu số: \(m^2 – 1 = (m-1)(m+1)\).
• Tử số: \(3m^2 – 2m – 1\). Đây là một tam thức bậc hai. Ta có thể tìm nghiệm của phương trình \(3m^2 – 2m – 1 = 0\). Có \(a+b+c = 3+(-2)+(-1) = 0\), nên một nghiệm là \(m_1 = 1\), nghiệm còn lại là \(m_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{3}\).
  Do đó, \(3m^2 – 2m – 1 = 3(m-1)(m – (-\frac{1}{3})) = 3(m-1)(m+\frac{1}{3}) = (m-1)(3m+1)\).

Thay vào biểu thức của \(x\):

\(x = \frac{(m-1)(3m+1)}{(m-1)(m+1)}\)

Vì \(m \neq 1\), ta có thể rút gọn \((m-1)\) ở tử và mẫu:

\(x = \frac{3m+1}{m+1}\)

Tìm \(y\):

Để tìm \(y\), ta có thể nhân phương trình (1) với \(m\):

\(\begin{cases} m(x + my) = m(m + 1) \\ mx + y = 3m – 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} mx + m^2y = m^2 + m \quad (1′) \\ mx + y = 3m – 1 \quad (2) \end{cases}\)

Lấy phương trình \((1′)\) trừ phương trình \((2)\) vế theo vế:

\((mx + m^2y) – (mx + y) = (m^2 + m) – (3m – 1)\)

\(m^2y – y = m^2 + m – 3m + 1\)

\((m^2 – 1)y = m^2 – 2m + 1\)

Vì \(m^2 – 1 \neq 0\), ta có thể chia cả hai vế:

\(y = \frac{m^2 – 2m + 1}{m^2 – 1}\)

Phân tích tử số và mẫu số:

• Tử số: \(m^2 – 2m + 1 = (m-1)^2\).
• Mẫu số: \(m^2 – 1 = (m-1)(m+1)\).

Thay vào biểu thức của \(y\):

\(y = \frac{(m-1)^2}{(m-1)(m+1)}\)

Vì \(m \neq 1\), ta có thể rút gọn \((m-1)\) ở tử và mẫu:

\(y = \frac{m-1}{m+1}\)

Kết luận Bước 2: Nghiệm của hệ phương trình là:

\(x = \frac{3m+1}{m+1}\)

\(y = \frac{m-1}{m+1}\)

Bước 3: Chứng minh điểm \((x;y)\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Chúng ta có các biểu thức của \(x\) và \(y\) theo \(m\):

\(x = \frac{3m+1}{m+1}\)

\(y = \frac{m-1}{m+1}\)

Mục tiêu của chúng ta là tìm một mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) mà không chứa tham số \(m\). Ta có thể biến đổi các biểu thức này như sau:

Đối với \(y\):

\(y = \frac{m-1}{m+1} = \frac{(m+1) – 2}{m+1} = \frac{m+1}{m+1} – \frac{2}{m+1}\)

\(y = 1 – \frac{2}{m+1}\)

Từ đây, ta có thể suy ra: \(\frac{2}{m+1} = 1 – y\).

Lưu ý: Để phép chia này có nghĩa, ta cần \(1-y \neq 0\), tức là \(y \neq 1\). Nếu \(y=1\), thì \(\frac{m-1}{m+1} = 1 \implies m-1 = m+1 \implies -1 = 1\), điều này vô lý. Do đó, \(y\) không bao giờ bằng 1, nên phép biến đổi này hợp lệ.

Đối với \(x\):

\(x = \frac{3m+1}{m+1} = \frac{3(m+1) – 2}{m+1} = \frac{3(m+1)}{m+1} – \frac{2}{m+1}\)

\(x = 3 – \frac{2}{m+1}\)

Bây giờ, chúng ta thấy cả \(x\) và \(y\) đều liên quan đến biểu thức \(\frac{2}{m+1}\). Ta đã tìm được \(\frac{2}{m+1} = 1 – y\).

Thay \(\frac{2}{m+1}\) vào biểu thức của \(x\):

\(x = 3 – (1 – y)\)

\(x = 3 – 1 + y\)

\(x = 2 + y\)

Chuyển vế, ta được:

\(x – y = 2\)

Đây là một phương trình đường thẳng có dạng \(Ax + By + C = 0\), cụ thể là \(1x – 1y – 2 = 0\). Phương trình này không chứa tham số \(m\).

Kết luận Bước 3: Vậy, điểm \((x;y)\) luôn nằm trên đường thẳng cố định có phương trình là \(x – y = 2\).

—

Tóm tắt toàn bộ bài giải:

1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(m \neq 1\) và \(m \neq -1\).
2. Nghiệm của hệ là \(x = \frac{3m+1}{m+1}\) và \(y = \frac{m-1}{m+1}\).
3. Biến đổi biểu thức của \(x\) và \(y\), ta tìm được mối liên hệ \(x – y = 2\). Đây là phương trình của một đường thẳng cố định.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chúc các em học tốt!