Xin chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” những bài toán thú vị này nhé. Cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một thật chi tiết để các em có thể hiểu rõ bản chất của vấn đề và tự tin hơn khi gặp các dạng toán tương tự.

Chúng ta hãy bắt đầu nào!

Bài 1: Tính: \(16 \frac{3}{5} – \frac{1}{3} – 13 \frac{3}{5} – \frac{1}{3} + \frac{3}{4}\)

Lời giải:

Để tính giá trị của biểu thức này, chúng ta cần quan sát và nhóm các số hạng có cùng đặc điểm lại với nhau để việc tính toán trở nên đơn giản hơn nhé.

Ta có biểu thức:

\(16 \frac{3}{5} – \frac{1}{3} – 13 \frac{3}{5} – \frac{1}{3} + \frac{3}{4}\)

Bước 1: Nhóm các số hạng.

Chúng ta thấy có hai hỗn số \(16 \frac{3}{5}\) và \(13 \frac{3}{5}\) có phần phân số giống nhau. Ngoài ra, số hạng \(-\frac{1}{3}\) xuất hiện hai lần.

Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\(= \left(16 \frac{3}{5} – 13 \frac{3}{5}\right) – \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \frac{3}{4}\)

Bước 2: Thực hiện phép tính trong các dấu ngoặc.

Đối với ngoặc thứ nhất: \(16 \frac{3}{5} – 13 \frac{3}{5}\)

Khi trừ hai hỗn số mà phần phân số bằng nhau, chúng ta chỉ việc trừ phần nguyên:

\(16 \frac{3}{5} – 13 \frac{3}{5} = (16 – 13) + \left(\frac{3}{5} – \frac{3}{5}\right) = 3 + 0 = 3\)

Đối với ngoặc thứ hai: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\)

Cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng tử số và giữ nguyên mẫu số:

\(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3}\)

Vậy, biểu thức của chúng ta trở thành:

\(= 3 – \frac{2}{3} + \frac{3}{4}\)

Bước 3: Thực hiện phép tính còn lại.

Để cộng trừ các phân số và số nguyên, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của \(1\) (mẫu của 3), \(3\) và \(4\) là \(12\).

Chuyển đổi các số hạng:

• \(3 = \frac{3 \times 12}{12} = \frac{36}{12}\)
• \(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}\)
• \(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}\)

Thay vào biểu thức:

\(= \frac{36}{12} – \frac{8}{12} + \frac{9}{12}\)

Bây giờ chúng ta thực hiện phép tính từ trái sang phải:

\(= \frac{36 – 8 + 9}{12}\)

\(= \frac{28 + 9}{12}\)

\(= \frac{37}{12}\)

Vậy, giá trị của biểu thức là \(\frac{37}{12}\).

Bài 2: Tìm x biết: \((x-1)^3 = -0.001\)

Lời giải:

Đây là một bài toán tìm x liên quan đến lũy thừa bậc ba. Mục tiêu của chúng ta là đưa cả hai vế về dạng lũy thừa bậc ba của một số để có thể loại bỏ số mũ.

Ta có phương trình:

\((x-1)^3 = -0.001\)

Bước 1: Chuyển đổi số thập phân sang phân số (hoặc nhận diện lũy thừa).

Số \(-0.001\) có thể viết dưới dạng phân số là \(-\frac{1}{1000}\).

Chúng ta biết rằng \(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000\).

Vậy, \(-\frac{1}{1000}\) chính là \(\left(-\frac{1}{10}\right)^3\).

Vì \(\left(-\frac{1}{10}\right) \times \left(-\frac{1}{10}\right) \times \left(-\frac{1}{10}\right) = -\frac{1}{1000}\).

Phương trình trở thành:

\((x-1)^3 = \left(-\frac{1}{10}\right)^3\)

Bước 2: Lấy căn bậc ba hai vế.

Khi hai lũy thừa bậc ba bằng nhau và cơ số là số thực, thì cơ số của chúng cũng phải bằng nhau:

\(x-1 = -\frac{1}{10}\)

Bước 3: Giải phương trình tìm x.

Để tìm x, chúng ta cộng \(1\) vào cả hai vế của phương trình:

\(x = 1 – \frac{1}{10}\)

Quy đồng mẫu số để thực hiện phép trừ:

\(x = \frac{10}{10} – \frac{1}{10}\)

\(x = \frac{10-1}{10}\)

\(x = \frac{9}{10}\)

Hoặc chúng ta có thể viết \(x\) dưới dạng số thập phân:

\(x = 0.9\)

Vậy, giá trị của x là \(\frac{9}{10}\) (hoặc \(0.9\)).

Bài 3: Tìm số nguyên a để:

a) \( \frac{1}{2} < \frac{12}{a} < \frac{4}{3} \)

Lời giải:

Đây là bài toán tìm số nguyên a trong một bất đẳng thức kép. Chúng ta cần “kẹp” a giữa hai giá trị nào đó.

Ta có bất đẳng thức:

\(\frac{1}{2} < \frac{12}{a} < \frac{4}{3}\)

Bước 1: Xác định dấu của a.

Vì \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{4}{3}\) đều là các số dương, mà \(\frac{12}{a}\) nằm giữa hai số dương đó, suy ra \(\frac{12}{a}\) cũng phải là một số dương. Vì tử số \(12\) là số dương, nên mẫu số \(a\) cũng phải là số dương. ( \(a > 0\)).

Bước 2: “Đảo ngược” bất đẳng thức.

Để đưa \(a\) lên tử số, chúng ta sẽ lấy nghịch đảo của tất cả các phân số.
Khi lấy nghịch đảo của các số dương trong một bất đẳng thức, chiều của bất đẳng thức sẽ đổi chiều.

Từ \(\frac{1}{2} < \frac{12}{a} < \frac{4}{3}\)

Suy ra: \(\frac{2}{1} > \frac{a}{12} > \frac{3}{4}\)

Hay viết lại một cách gọn gàng hơn là:

\(\frac{3}{4} < \frac{a}{12} < 2\)

Bước 3: Nhân tất cả các vế với 12 để tìm a.

Để tìm \(a\), chúng ta nhân tất cả các vế của bất đẳng thức với \(12\) (là một số dương nên không làm đổi chiều bất đẳng thức):

\(\frac{3}{4} \times 12 < \frac{a}{12} \times 12 < 2 \times 12\)

Thực hiện các phép nhân:

• \(\frac{3}{4} \times 12 = 3 \times 3 = 9\)
• \(\frac{a}{12} \times 12 = a\)
• \(2 \times 12 = 24\)

Vậy, chúng ta có bất đẳng thức mới:

\(9 < a < 24\)

Bước 4: Tìm các số nguyên a.

Vì \(a\) là số nguyên và \(9 < a < 24\), các giá trị nguyên của \(a\) có thể là:

\(a \in \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23\}\)

Vậy, các số nguyên a thỏa mãn điều kiện là \(10, 11, …, 23\).

b) \( -\frac{3}{4} < \frac{a}{10} < -\frac{3}{5} \)

Lời giải:

Tương tự như câu a, chúng ta cần tìm số nguyên a trong một bất đẳng thức kép.

Ta có bất đẳng thức:

\(-\frac{3}{4} < \frac{a}{10} < -\frac{3}{5}\)

Bước 1: Quy đồng mẫu số của các phân số ở hai đầu bất đẳng thức.

Mẫu số chung nhỏ nhất của \(4\) và \(5\) là \(20\).

• \(\text{Chuyển đổi } -\frac{3}{4}\text{ : } -\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 5}{4 \times 5} = -\frac{15}{20}\)
• \(\text{Chuyển đổi } -\frac{3}{5}\text{ : } -\frac{3}{5} = -\frac{3 \times 4}{5 \times 4} = -\frac{12}{20}\)

Thay vào bất đẳng thức:

\(-\frac{15}{20} < \frac{a}{10} < -\frac{12}{20}\)

Bước 2: “Nhân” bất đẳng thức để cô lập a.

Để tìm \(a\), chúng ta nhân tất cả các vế của bất đẳng thức với \(10\) (là một số dương nên không làm đổi chiều bất đẳng thức):

\(-\frac{3}{4} \times 10 < \frac{a}{10} \times 10 < -\frac{3}{5} \times 10\)

Thực hiện các phép nhân:

• \(\text{Vế trái: } -\frac{3}{4} \times 10 = -\frac{30}{4} = -\frac{15}{2}\)
• \(\text{Ở giữa: } \frac{a}{10} \times 10 = a\)
• \(\text{Vế phải: } -\frac{3}{5} \times 10 = -\frac{30}{5} = -6\)

Vậy, chúng ta có bất đẳng thức mới:

\(-\frac{15}{2} < a < -6\)

Bước 3: Chuyển đổi phân số sang số thập phân để dễ so sánh.

\(-\frac{15}{2} = -7.5\)

Bất đẳng thức trở thành:

\(-7.5 < a < -6\)

Bước 4: Tìm số nguyên a.

Vì \(a\) là số nguyên, chúng ta cần tìm số nguyên lớn hơn \(-7.5\) và nhỏ hơn \(-6\).

Số nguyên duy nhất thỏa mãn điều kiện này là \(a = -7\).

Vậy, số nguyên a thỏa mãn điều kiện là \(-7\).

Cô hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, các em đã nắm vững cách giải quyết các dạng toán trên. Hãy luôn nhớ rằng, việc trình bày rõ ràng từng bước và hiểu được ý nghĩa của mỗi phép tính là chìa khóa để học tốt môn Toán nhé! Chúc các em học tập thật tốt!