Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về các số nguyên. Các em hãy tập trung và theo dõi từng bước giải của thầy nhé.

Bài toán: Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện \( (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=210\). Tính giá trị của biểu thức \(A=|a-b|+|b-c|+|c-a|\).

Phân tích bài toán:

Chúng ta được cho một phương trình liên quan đến lập phương của các hiệu giữa ba số nguyên a, b, c. Yêu cầu là tính giá trị tuyệt đối của tổng các hiệu đó.

Nhận xét quan trọng:

Các em hãy nhớ lại một hằng đẳng thức quen thuộc sau:

Nếu \(x + y + z = 0\), thì \(x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz\).

Áp dụng vào bài toán:

Xét các biểu thức trong phương trình:

Đặt \(x = a-b\)

Đặt \(y = b-c\)

Đặt \(z = c-a\)

Ta thấy rằng, nếu cộng ba biểu thức này lại:

\(x + y + z = (a-b) + (b-c) + (c-a)\)

\(x + y + z = a – b + b – c + c – a\)

\(x + y + z = 0\)

Do \(x + y + z = 0\), nên ta có thể áp dụng hằng đẳng thức đã nêu:

\(x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz\)

Thay \(x, y, z\) bằng các biểu thức tương ứng:

\((a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)\)

Sử dụng thông tin từ đề bài:

Theo đề bài, ta có: \( (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=210\)

Do đó, ta có phương trình:

\(3(a-b)(b-c)(c-a) = 210\)

Chia cả hai vế cho 3:

\((a-b)(b-c)(c-a) = \frac{210}{3}\)

\((a-b)(b-c)(c-a) = 70\)

Tìm giá trị của A:

Biểu thức A là: \(A=|a-b|+|b-c|+|c-a|\)

Đặt \(X = a-b\), \(Y = b-c\), \(Z = c-a\). Ta đã biết \(XYZ = 70\).

Ta cần tính \(A = |X| + |Y| + |Z|\).

Vì a, b, c là các số nguyên, nên \(a-b\), \(b-c\), \(c-a\) cũng là các số nguyên.

Chúng ta cần tìm ba số nguyên X, Y, Z sao cho tích của chúng là 70, và sau đó tính tổng giá trị tuyệt đối của chúng.

Ta hãy phân tích số 70 ra thừa số nguyên tố: \(70 = 2 \times 5 \times 7\).

Các trường hợp có thể xảy ra đối với X, Y, Z (và các hoán vị của chúng, cũng như các dấu âm):

Trường hợp 1: X, Y, Z đều là các số dương.

Ta có thể chọn \(X=2\), \(Y=5\), \(Z=7\) (hoặc bất kỳ hoán vị nào).

Khi đó, \(A = |2| + |5| + |7| = 2 + 5 + 7 = 14\).

Trường hợp 2: Có hai số âm và một số dương.

Ví dụ: \(X = -2\), \(Y = -5\), \(Z = 7\).

Tích: \((-2) \times (-5) \times 7 = 10 \times 7 = 70\) (Thỏa mãn).

Khi đó, \(A = |-2| + |-5| + |7| = 2 + 5 + 7 = 14\).

Các trường hợp khác với hai số âm và một số dương sẽ cho kết quả tương tự.

Kiểm tra lại các khả năng khác:

Liệu có thể có một số âm và hai số dương không? Nếu có một số âm, ví dụ \(X < 0\), \(Y > 0\), \(Z > 0\), thì \(XYZ\) sẽ âm. Nhưng \(XYZ = 70\) là số dương, nên trường hợp này loại.

Liệu có thể có cả ba số đều âm không? Nếu \(X < 0\), \(Y < 0\), \(Z < 0\), thì \(XYZ\) sẽ âm. Nhưng \(XYZ = 70\) là số dương, nên trường hợp này loại.

Liệu có thể có số 0 trong các hiệu không? Nếu một trong các hiệu bằng 0, ví dụ \(a-b=0\), thì tích \( (a-b)(b-c)(c-a) \) sẽ bằng 0, không phải 70. Nên trường hợp này loại.

Như vậy, chỉ có hai trường hợp khả dĩ cho dấu của X, Y, Z là: tất cả đều dương, hoặc có hai số âm và một số dương.

Trong cả hai trường hợp này, tổng các giá trị tuyệt đối đều cho cùng một kết quả.

Kết luận:

Từ các phân tích trên, ta có:

\(A = |a-b| + |b-c| + |c-a|\)

Chúng ta đã tìm được rằng các số nguyên \(a-b\), \(b-c\), \(c-a\) phải có tích là 70.

Các bộ số nguyên có tích là 70 (xét theo giá trị tuyệt đối) là bộ ba số \( (2, 5, 7) \) và các hoán vị của nó.

Khi đó, \(A = |2| + |5| + |7| = 2 + 5 + 7 = 14\).

Nếu có các số âm, ví dụ \( (-2, -5, 7) \), thì \(A = |-2| + |-5| + |7| = 2 + 5 + 7 = 14\).

Vậy, giá trị của biểu thức A là 14.

Đáp số: \(A = 14\)

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Điều quan trọng là chúng ta nhận ra được hằng đẳng thức và áp dụng nó một cách linh hoạt. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!