Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về hình học và tối ưu hóa diện tích. Đây là dạng bài thường gặp, giúp chúng ta ôn lại kiến thức về chu vi, diện tích hình chữ nhật và đặc biệt là cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của một hàm số bậc hai.

Các em hãy đọc kỹ đề bài:

Bài toán: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi không đổi và bằng 28m. Người ta muốn tạo đường đi rộng 1m bao quanh khu vườn, và phần đất còn lại dành để trồng các loại hoa. Diện tích đất trồng hoa lớn nhất là bao nhiêu?

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Phân tích đề bài và đặt các biến số

Để giải bài toán này, trước hết chúng ta cần gọi các kích thước của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.

• Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là \(l\) (mét).
• Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(w\) (mét).

Theo đề bài, chu vi của mảnh đất là 28m. Công thức tính chu vi hình chữ nhật là \(2 \times (l + w)\).

Vậy, ta có phương trình:

\(2 \times (l + w) = 28\)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\(l + w = 14 \quad (*)\)

Đây là một mối quan hệ rất quan trọng giữa chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Bây giờ, chúng ta xét đến phần đường đi và phần đất trồng hoa.

Người ta làm đường đi rộng 1m bao quanh khu vườn. Điều này có nghĩa là đường đi sẽ làm giảm kích thước của phần đất trồng hoa ở cả hai phía (chiều dài và chiều rộng).

Nếu chiều dài ban đầu là \(l\), thì chiều dài của phần đất trồng hoa (gọi là \(l_h\)) sẽ bị giảm đi 1m ở mỗi bên (trên và dưới, hoặc trái và phải, tùy cách nhìn).

Vậy, \(l_h = l – 1 – 1 = l – 2\) (mét).

Tương tự, nếu chiều rộng ban đầu là \(w\), thì chiều rộng của phần đất trồng hoa (gọi là \(w_h\)) sẽ là:

\(w_h = w – 1 – 1 = w – 2\) (mét).

Bước 2: Xây dựng biểu thức tính diện tích đất trồng hoa

Diện tích đất trồng hoa (ký hiệu là \(A_h\)) là diện tích của hình chữ nhật có chiều dài \(l_h\) và chiều rộng \(w_h\).

Vậy, \(A_h = l_h \times w_h\)

Thay các biểu thức của \(l_h\) và \(w_h\) vào, ta có:

\(A_h = (l – 2) \times (w – 2)\)

Để tìm giá trị lớn nhất của \(A_h\), chúng ta cần biểu diễn \(A_h\) theo một biến số duy nhất.

Từ phương trình \((*)\) ở Bước 1, ta có \(w = 14 – l\).

Thay \(w = 14 – l\) vào biểu thức của \(A_h\):

\(A_h = (l – 2) \times ((14 – l) – 2)\)

\(A_h = (l – 2) \times (12 – l)\)

Bây giờ, chúng ta khai triển biểu thức này:

\(A_h = l \times 12 – l \times l – 2 \times 12 + 2 \times l\)

\(A_h = 12l – l^2 – 24 + 2l\)

Sắp xếp lại các hạng tử, ta được một hàm số bậc hai theo biến \(l\):

\(A_h(l) = -l^2 + 14l – 24\)

Bước 3: Xác định điều kiện của biến số

Trước khi tìm giá trị lớn nhất, chúng ta cần xác định miền giá trị hợp lệ cho \(l\).

Các kích thước của mảnh đất và phần đất trồng hoa phải là số dương:

1. Chiều dài \(l > 0\).
2. Chiều rộng \(w > 0\), mà \(w = 14 – l\), nên \(14 – l > 0 \Rightarrow l < 14\).
3. Chiều dài của phần đất trồng hoa \(l_h = l – 2 > 0 \Rightarrow l > 2\).
4. Chiều rộng của phần đất trồng hoa \(w_h = w – 2 > 0\). Thay \(w = 14 – l\) vào, ta có \((14 – l) – 2 > 0 \Rightarrow 12 – l > 0 \Rightarrow l < 12\).

Kết hợp tất cả các điều kiện trên, ta có miền giá trị hợp lệ cho \(l\) là \(2 < l < 12\).

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của diện tích đất trồng hoa

Hàm số diện tích đất trồng hoa là \(A_h(l) = -l^2 + 14l – 24\).

Đây là một hàm số bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = -1\), \(b = 14\), \(c = -24\).

Vì hệ số \(a = -1 < 0\), đồ thị của hàm số này là một parabol quay bề lõm xuống dưới, nên nó có một điểm cực đại (giá trị lớn nhất) tại đỉnh của parabol.

Hoành độ của đỉnh parabol (tức là giá trị của \(l\) để \(A_h\) đạt GTLN) được tính bằng công thức \(l = \frac{-b}{2a}\).

Thay các giá trị \(a = -1\) và \(b = 14\) vào công thức:

\(l = \frac{-14}{2 \times (-1)}\)

\(l = \frac{-14}{-2}\)

\(l = 7\) (mét).

Giá trị \(l = 7\) nằm trong miền giá trị hợp lệ \(2 < l < 12\), nên đây là một giá trị có thể xảy ra.

Bước 5: Tính diện tích đất trồng hoa lớn nhất

Khi \(l = 7\) mét, ta tính các kích thước tương ứng:

• Chiều dài mảnh đất ban đầu: \(l = 7\)m.
• Chiều rộng mảnh đất ban đầu: \(w = 14 – l = 14 – 7 = 7\)m.

Như vậy, mảnh đất ban đầu là một hình vuông cạnh 7m.

Kích thước của phần đất trồng hoa:

• Chiều dài đất trồng hoa: \(l_h = l – 2 = 7 – 2 = 5\)m.
• Chiều rộng đất trồng hoa: \(w_h = w – 2 = 7 – 2 = 5\)m.

Phần đất trồng hoa cũng là một hình vuông cạnh 5m.

Diện tích đất trồng hoa lớn nhất sẽ là:

\(A_h = l_h \times w_h = 5 \times 5 = 25\) mét vuông.

Hoặc, chúng ta có thể thay \(l = 7\) vào biểu thức \(A_h(l) = -l^2 + 14l – 24\):

\(A_h(7) = -(7)^2 + 14 \times 7 – 24\)

\(A_h(7) = -49 + 98 – 24\)

\(A_h(7) = 49 – 24\)

\(A_h(7) = 25\) mét vuông.

Kết luận:

Vậy, diện tích đất trồng hoa lớn nhất có thể đạt được là 25 mét vuông, khi mảnh đất ban đầu là hình vuông có cạnh 7m.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách phân tích đề, đặt biến, xây dựng hàm số và tìm giá trị lớn nhất của hàm bậc hai trong các bài toán thực tế. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé!

Chúc các em học tốt!