Chào các em học sinh lớp 8!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất thú vị về diện tích và chu vi. Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại kiến thức về hình chữ nhật, biểu thức đại số và cách tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức.

Chúng ta hãy cùng đọc kỹ đề bài nhé:

Bài toán: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi không đổi và bằng 40m. Người ta muốn tạo đường đi rộng 1m bao quanh khu vườn, và phần đất còn lại dành để trồng các loại hoa. Diện tích đất trồng hoa lớn nhất là bao nhiêu?

Phân tích và Giải bài toán:

Bước 1: Đặt biến và khai thác thông tin từ chu vi.

Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là \(l\) (mét).

Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(w\) (mét).

Vì đây là kích thước của một mảnh đất, nên \(l > 0\) và \(w > 0\).

Theo đề bài, chu vi của mảnh đất là 40m. Công thức tính chu vi hình chữ nhật là \(C = 2(l + w)\).

Ta có phương trình:

\(2(l + w) = 40\)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\(l + w = 20\) (m) (1)

Đây là một mối quan hệ quan trọng giữa chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Bước 2: Xác định kích thước phần đất trồng hoa.

Người ta muốn tạo đường đi rộng 1m bao quanh khu vườn. Điều này có nghĩa là đường đi sẽ chiếm 1m từ mỗi phía (trên, dưới, trái, phải) vào phía trong của mảnh đất.

Chiều dài của phần đất trồng hoa sẽ bị giảm đi 1m ở mỗi đầu, tức là giảm tổng cộng \(1 + 1 = 2\)m.

Chiều dài của phần đất trồng hoa là: \(l’ = l – 2\) (m)

Tương tự, chiều rộng của phần đất trồng hoa cũng sẽ bị giảm đi 1m ở mỗi bên, tức là giảm tổng cộng \(1 + 1 = 2\)m.

Chiều rộng của phần đất trồng hoa là: \(w’ = w – 2\) (m)

Điều kiện quan trọng: Để có phần đất trồng hoa, thì chiều dài và chiều rộng của phần đất đó phải dương.

\(l – 2 > 0 \Rightarrow l > 2\)

\(w – 2 > 0 \Rightarrow w > 2\)

Bước 3: Lập biểu thức diện tích đất trồng hoa.

Diện tích đất trồng hoa, ký hiệu là \(S\), được tính bằng công thức:

\(S = l’ \times w’\)

\(S = (l – 2)(w – 2)\) (2)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(w\) theo \(l\): \(w = 20 – l\).

Thay \(w = 20 – l\) vào biểu thức (2):

\(S = (l – 2)((20 – l) – 2)\)

\(S = (l – 2)(18 – l)\)

Bây giờ, chúng ta khai triển biểu thức này:

\(S = 18l – l^2 – 36 + 2l\)

\(S = -l^2 + 20l – 36\)

Đây là một hàm số bậc hai theo biến \(l\). Để tìm giá trị lớn nhất của \(S\), chúng ta cần tìm đỉnh của parabol này. Hàm số có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = -1\), \(b = 20\), \(c = -36\). Vì \(a < 0\), parabol quay bề lõm xuống dưới, nên có một giá trị lớn nhất.

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của diện tích.

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương để tìm giá trị lớn nhất:

\(S = -(l^2 – 20l + 36)\)

Để hoàn thành bình phương cho phần \(l^2 – 20l\), chúng ta cần cộng và trừ \((20/2)^2 = 10^2 = 100\):

\(S = -(l^2 – 20l + 100 – 100 + 36)\)

\(S = -((l – 10)^2 – 64)\)

\(S = -(l – 10)^2 + 64\)

Vì \((l – 10)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(l\), nên \(-(l – 10)^2 \le 0\).

Giá trị lớn nhất của \(-(l – 10)^2\) là 0, đạt được khi \(l – 10 = 0 \Rightarrow l = 10\).

Khi \(-(l – 10)^2 = 0\), thì \(S = 0 + 64 = 64\).

Vậy, giá trị lớn nhất của diện tích đất trồng hoa là 64m\(^2\).

Để chắc chắn, chúng ta kiểm tra điều kiện của \(l\): \(l = 10\) thỏa mãn \(2 < l < 18\).

Khi \(l = 10\)m, thì \(w = 20 – l = 20 – 10 = 10\)m. (Lúc này mảnh đất ban đầu là hình vuông).

Chiều dài đất trồng hoa là \(l’ = 10 – 2 = 8\)m.

Chiều rộng đất trồng hoa là \(w’ = 10 – 2 = 8\)m.

Diện tích đất trồng hoa là \(S = 8 \times 8 = 64\)m\(^2\).

Kết luận:

Diện tích đất trồng hoa lớn nhất là 64m\(^2\). Điều này xảy ra khi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu có chiều dài 10m và chiều rộng 10m (tức là một hình vuông).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách phân tích và giải quyết bài toán tối ưu. Hãy luôn nhớ rằng việc đặt biến, tìm mối quan hệ và biến đổi biểu thức là những kỹ năng rất quan trọng trong Toán học nhé!

Chúc các em học tốt!