Tính độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông , biết rằng nếu mỗi cạnh tăn…
Chúng ta hãy cùng phân tích đề bài nhé:
Đề bài: Tính độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng:
1. Nếu mỗi cạnh tăng lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36cm^2.
2. Nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác đó giảm 26 cm^2.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đại số. Đầu tiên, chúng ta cần đặt ẩn cho các cạnh góc vuông của tam giác.
Bước 1: Đặt ẩn và lập phương trình
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là \(x\) (cm) và \(y\) (cm).
Diện tích ban đầu của tam giác vuông là: \(S = \frac{1}{2}xy\) (cm^2).
Xét trường hợp 1: Nếu mỗi cạnh tăng lên 3cm.
Chiều dài hai cạnh góc vuông mới là: \(x+3\) (cm) và \(y+3\) (cm).
Diện tích mới của tam giác là: \(S_1 = \frac{1}{2}(x+3)(y+3)\) (cm^2).
Theo đề bài, diện tích tăng thêm 36cm^2, nên ta có: \(S_1 = S + 36\).
Thay các biểu thức diện tích vào, ta được:
\( \frac{1}{2}(x+3)(y+3) = \frac{1}{2}xy + 36 \)
Nhân cả hai vế với 2 để khử mẫu:
\( (x+3)(y+3) = xy + 72 \)
Khai triển vế trái:
\( xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 \)
Rút gọn \(xy\) ở hai vế:
\( 3x + 3y + 9 = 72 \)
\( 3x + 3y = 72 – 9 \)
\( 3x + 3y = 63 \)
Chia cả hai vế cho 3:
\( x + y = 21 \) (Phương trình 1)
Xét trường hợp 2: Nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm.
Giả sử cạnh có độ dài \(x\) giảm đi 2 cm và cạnh có độ dài \(y\) giảm đi 4 cm.
Chiều dài hai cạnh góc vuông mới là: \(x-2\) (cm) và \(y-4\) (cm).
Diện tích mới của tam giác là: \(S_2 = \frac{1}{2}(x-2)(y-4)\) (cm^2).
Theo đề bài, diện tích giảm 26cm^2, nên ta có: \(S_2 = S – 26\).
Thay các biểu thức diện tích vào, ta được:
\( \frac{1}{2}(x-2)(y-4) = \frac{1}{2}xy – 26 \)
Nhân cả hai vế với 2 để khử mẫu:
\( (x-2)(y-4) = xy – 52 \)
Khai triển vế trái:
\( xy – 4x – 2y + 8 = xy – 52 \)
Rút gọn \(xy\) ở hai vế:
\( -4x – 2y + 8 = -52 \)
\( -4x – 2y = -52 – 8 \)
\( -4x – 2y = -60 \)
Chia cả hai vế cho -2:
\( 2x + y = 30 \) (Phương trình 2)
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bây giờ chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn \(x\) và \(y\):
Hệ phương trình:
\( \begin{cases} x + y = 21 \\ 2x + y = 30 \end{cases} \)
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ này. Thầy sẽ dùng phương pháp trừ để loại bỏ ẩn \(y\).
Lấy Phương trình 2 trừ đi Phương trình 1:
\( (2x + y) – (x + y) = 30 – 21 \)
\( 2x + y – x – y = 9 \)
\( x = 9 \)
Bây giờ, chúng ta thế giá trị của \(x\) vào Phương trình 1 để tìm \(y\):
\( 9 + y = 21 \)
\( y = 21 – 9 \)
\( y = 12 \)
Bước 3: Kiểm tra lại điều kiện bài toán
Chúng ta đã tìm được \(x=9\) cm và \(y=12\) cm. Chúng ta cần kiểm tra lại xem các giá trị này có thỏa mãn điều kiện của đề bài hay không.
Diện tích ban đầu: \(S = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54\) cm^2.
Trường hợp 1: Cạnh tăng lên 3cm.
Cạnh mới là \(9+3=12\) cm và \(12+3=15\) cm.
Diện tích mới: \(S_1 = \frac{1}{2} \times 12 \times 15 = 90\) cm^2.
Diện tích tăng thêm: \(90 – 54 = 36\) cm^2. (Thỏa mãn)
Trường hợp 2: Cạnh giảm đi 2cm và 4cm.
Cạnh mới là \(9-2=7\) cm và \(12-4=8\) cm.
Diện tích mới: \(S_2 = \frac{1}{2} \times 7 \times 8 = 28\) cm^2.
Diện tích giảm: \(54 – 28 = 26\) cm^2. (Thỏa mãn)
Kết luận:
Vậy, độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là 9 cm và 12 cm.
Các em thấy không, chỉ cần chúng ta phân tích đề bài thật kỹ, đặt ẩn chính xác và áp dụng đúng kiến thức, bài toán phức tạp cũng sẽ trở nên đơn giản.
Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em hãy mạnh dạn hỏi thầy nhé!
Đáp án:
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là \(x,y\)\((cm)\) \((\)điều kiện: \(x>2, y>4)\)
Diện tích ban đầu của tam giác vuông là:
\(S=1/2xy\)
\(\text{TH1:}\) mỗi cạnh tăng lên \(3cm\)
\(+\) cạnh thứ 1 mới là \(x+3\)
\(+\) cạnh thứ 2 mới là \(y+3\)
vì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm \(36cm^2\) nên ta có pt:
\(1/2(x+3)(y+3)=1/2xy+36\)
\(<=>(x+3)(y+3)=xy+72\)
\(<=>xy+3x+3y+9=xy+72\)
\(<=>3x+3y=63\)
\(<=>x+y=21\)\((1)\)
\(\text{TH2:}\) một cạnh giảm đi \(2cm\) và cạnh kia giảm đi \(4cm\)
\(@\) giả sử:
\(+\) cạnh thứ 1 khi giảm \(2cm\) là \(x-2\)
\(+\) cạnh thứ 2 khi giảm \(4cm\) là \(y-4\)
vì diện tích của tam giác kia giảm \(26cm^2\) nên ta có pt:
\(1/2(x-2)(y-4)=1/2xy-26\)
\(<=>(x-2)(y-4)=xy-52\)
\(<=>xy-4x+2y+8=xy-52\)
\(<=>4x+2y=60\)
\(<=>2x+y=30\)\((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) ta có hệ phương trình:
\({(x+y=21), (2x+y=30):}\)
\(->{(y=21-x), (2x+21-x=30):}\)
\(->{(y=21-x), (x=30-21):}\)
\(->{(y=21-x), (x=9):}\)
\(->{(y=21-9), (x=9):}\)
\(->{(y=12), (x=9):}\) \((tmđk)\)
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là \(9cm\) và \(12cm\)
\(\color{#0B6623}{♡^♡}\color{#0F7A2F}{𝕲}\color{#138F3C}{𝖎}\color{#17A34A}{𝖆}\color{#2EBF5E}{𝖆} \ \color{#4DD17A}{ } \
\color{#6FE095}{𝕻}\color{#8BE8AA}{𝖍}\color{#A6F0BF}{𝖔}
\color{#C0F7D3}{𝖓}\color{#D8FBE4}{𝖌}\color{#ECFFF1}{𝖌}\color{#0B6623}{♡^♡}\)
Giải thích các bước giải:
\( \begin{align} & \text{Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông} \\ & \text{lần lượt là } x \text{ và } y \text{ (cm), điều kiện: } x > 2, y > 4 \\ & \text{Diện tích ban đầu của tam giác vuông là: } \dfrac{1}{2}xy \text{ (cm}^2). \\ & \text{Khi mỗi cạnh tăng 3cm, diện tích tăng \)36cm^2\(, ta có:} \\ & \dfrac{1}{2}(x+3)(y+3) = \dfrac{1}{2}xy + 36 \\ & \iff xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 \\ & \iff 3x + 3y = 63 \iff x + y = 21 \quad (1) \\ & \text{Giả sử cạnh } x \text{ giảm 2cm, cạnh } y \text{ giảm 4cm,} \\ & \text{diện tích giảm \)26cm^2\(, ta có phương trình:} \\ & \dfrac{1}{2}(x-2)(y-4) = \dfrac{1}{2}xy – 26 \\ & \iff xy – 4x – 2y + 8 = xy – 52 \\ & \iff 4x + 2y = 60 \iff 2x + y = 30 \quad (2) \\ & \text{Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:} \\ & \begin{cases} x + y = 21 \ 2x + y = 30 \end{cases} \iff \begin{cases} y = 21 – x \ 2x + (21 – x) = 30 \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} y = 21 – x \ x = 9 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 9 \text{ (thỏa mãn)} \ y = 12 \text{ (thỏa mãn)} \end{cases} \\ & \text{Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là } 9 \text{ cm và } 12 \text{ cm.} \end{align} \)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment