Chào các em học sinh lớp 9 thân mến,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rút gọn biểu thức và tìm giá trị lớn nhất. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi quan trọng, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Trước hết, chúng ta cùng phân tích đề bài:

Cho hai biểu thức:

\(A = \frac{\sqrt{x}}{x+1}\)

\(B = \frac{x-2}{x-2\sqrt{x}} – \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}+2}\)

Điều kiện xác định:

Để các biểu thức A và B có nghĩa, chúng ta cần các điều kiện sau:

• Căn bậc hai của \(x\) phải xác định, tức là \(x \ge 0\).
• Mẫu số của các phân thức phải khác 0.
• Đối với A: \(x+1 \ne 0\). Vì \(x \ge 0\), nên \(x+1 \ge 1\), do đó \(x+1\) luôn khác 0.
• Đối với B:
• \(x-2\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-2) \ne 0\). Điều này suy ra \(\sqrt{x} \ne 0\) (tức \(x \ne 0\)) và \(\sqrt{x} \ne 2\) (tức \(x \ne 4\)).
• \(\sqrt{x} \ne 0\) (tức \(x \ne 0\)).
• \(\sqrt{x}+2 \ne 0\). Điều này luôn đúng vì \(\sqrt{x} \ge 0\) nên \(\sqrt{x}+2 \ge 2\).

Vậy, điều kiện xác định chung cho cả hai biểu thức là: \(x > 0\) và \(x \ne 4\).

a) Chứng minh \(B = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\)

Chúng ta cùng rút gọn biểu thức B. Để rõ ràng, thầy xin phép giả định biểu thức B được viết dưới dạng chuẩn của các phân thức như sau:

\(B = \frac{x-2}{x-2\sqrt{x}} – \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}+2}\)

Bước 1: Phân tích mẫu số và quy đồng mẫu chung.

Ta có: \(x-2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-2)\).

Do đó, biểu thức B trở thành:

\(B = \frac{x-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} – \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}+2}\)

Bước 2: Quy đồng hai phân thức đầu tiên.

\(\frac{x-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} – \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{x-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} – \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

\(= \frac{x-2-(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

\(= \frac{x-2-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

\(= \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

\(= \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt{x} \ne 0\), ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}\) ở tử và mẫu:

\(= \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\)

Bước 3: Cộng kết quả vừa tìm được với phân thức còn lại.

\(B = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2} + \frac{1}{\sqrt{x}+2}\)

Mẫu chung là \((\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) = x-4\).

\(B = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} + \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

\(B = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2) + (\sqrt{x}-2)}{x-4}\)

Khai triển tử số:

\((\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2) = x + 2\sqrt{x} – \sqrt{x} – 2 = x + \sqrt{x} – 2\)

Vậy tử số là: \((x + \sqrt{x} – 2) + (\sqrt{x}-2) = x + 2\sqrt{x} – 4\)

Do đó, kết quả rút gọn của B là:

\(B = \frac{x+2\sqrt{x}-4}{x-4}\)

Nhận xét: Biểu thức B sau khi rút gọn là \(B = \frac{x+2\sqrt{x}-4}{x-4}\). Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chứng minh \(B = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\). Hai kết quả này không khớp nhau.

Có thể có một sự nhầm lẫn nhỏ trong đề bài gốc về biểu thức B. Để chúng ta có thể tiếp tục giải phần b) của bài toán theo đúng ý đồ của người ra đề, thầy sẽ sử dụng kết quả mà đề bài yêu cầu chứng minh cho B, tức là thầy sẽ giả định rằng B đã được rút gọn và có dạng: \(B = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\).

Việc này rất quan trọng để chúng ta có thể tiến hành giải quyết phần b).

b) Tìm giá trị của x để \(P=2AB+\frac{4}{x+1}\) đạt giá trị lớn nhất.

Với \(A = \frac{\sqrt{x}}{x+1}\) và giả sử \(B = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\) (theo yêu cầu chứng minh của đề bài), chúng ta sẽ thay A và B vào biểu thức P.

Bước 1: Thay A và B vào P.

\(P = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\right) + \frac{4}{x+1}\)

Bước 2: Rút gọn biểu thức P.

Do \(x > 0\), nên \(\sqrt{x} \ne 0\). Ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}\) ở tử số và mẫu số của tích AB:

\(P = 2 \cdot \frac{\sqrt{x}-2}{x+1} + \frac{4}{x+1}\)

\(P = \frac{2(\sqrt{x}-2) + 4}{x+1}\)

\(P = \frac{2\sqrt{x}-4+4}{x+1}\)

\(P = \frac{2\sqrt{x}}{x+1}\)

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của P.

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{2\sqrt{x}}{x+1}\) với điều kiện \(x > 0\) và \(x \ne 4\).

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức này, chúng ta có thể sử dụng Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM).

Với \(x > 0\), ta có: \(x+1 \ge 2\sqrt{x \cdot 1}\)

\(x+1 \ge 2\sqrt{x}\)

Vì cả hai vế đều dương, ta có thể nghịch đảo và đổi chiều bất đẳng thức:

\(\frac{1}{x+1} \le \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Nhân cả hai vế với \(2\sqrt{x}\) (lưu ý \(2\sqrt{x} > 0\)):

\(\frac{2\sqrt{x}}{x+1} \le \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

\(\frac{2\sqrt{x}}{x+1} \le 1\)

Vậy, \(P \le 1\).

Giá trị lớn nhất của P là 1.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điều kiện của bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu “=”, tức là:

\(x = 1\)

Kiểm tra điều kiện xác định: \(x=1\) thỏa mãn \(x>0\) và \(x \ne 4\).

Kết luận:

Giá trị lớn nhất của biểu thức P là 1, đạt được khi \(x=1\).

Bài học hôm nay kết thúc tại đây. Các em hãy về nhà xem lại kĩ các bước làm, đặc biệt là phần rút gọn và áp dụng bất đẳng thức nhé. Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi thầy vào buổi học tới!

Chúc các em học tốt!