Kính chào các em học sinh! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán số 21. Đây là một bài toán vận dụng kiến thức về số tự nhiên, phương trình và giải hệ phương trình. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 21. Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng của các chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7. Biết rằng nghịch đảo của số tự nhiên đó bằng bình phương nghịch đảo của chữ số hàng đơn vị. Hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là \( \overline{AB} \), trong đó:

• \( A \) là chữ số hàng chục. Điều kiện: \( A \in \{1, 2, …, 9\} \) (vì \( A \) là chữ số hàng chục nên phải khác 0).
• \( B \) là chữ số hàng đơn vị. Điều kiện: \( B \in \{0, 1, …, 9\} \).

Số tự nhiên đó có giá trị là \( 10A + B \).

Bước 2: Thiết lập các phương trình từ đề bài

Theo đề bài, chúng ta có hai thông tin quan trọng để thiết lập phương trình:

Thông tin thứ nhất: “tổng của các chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7”.

Từ đó, ta có phương trình thứ nhất:

\( A + B = 7 \) (1)

Thông tin thứ hai: “nghịch đảo của số tự nhiên đó bằng bình phương nghịch đảo của chữ số hàng đơn vị”.

Nghịch đảo của số tự nhiên \( \overline{AB} \) là \( \frac{1}{10A + B} \).

Nghịch đảo của chữ số hàng đơn vị \( B \) là \( \frac{1}{B} \). Để biểu thức này có nghĩa, \( B \) phải khác 0. Vậy, điều kiện của \( B \) chặt chẽ hơn là \( B \in \{1, 2, …, 9\} \).

Bình phương nghịch đảo của chữ số hàng đơn vị là \( \left(\frac{1}{B}\right)^2 = \frac{1}{B^2} \).

Từ đó, ta có phương trình thứ hai:

\( \frac{1}{10A + B} = \frac{1}{B^2} \)

Để phương trình này có nghĩa, \( 10A + B \) phải khác 0. Với \( A \in \{1, …, 9\} \) và \( B \in \{1, …, 9\} \), thì \( 10A + B \) luôn dương và khác 0.
Từ phương trình này, suy ra:

\( 10A + B = B^2 \) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta có hệ phương trình gồm (1) và (2):

\( \left\{\begin{matrix} A + B = 7 \\ 10A + B = B^2 \end{matrix}\right. \)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( A \) theo \( B \):

\( A = 7 – B \) (3)

Thay biểu thức của \( A \) từ (3) vào phương trình (2):

\( 10(7 – B) + B = B^2 \)

Thực hiện phép tính:

\( 70 – 10B + B = B^2 \)

\( 70 – 9B = B^2 \)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\( B^2 + 9B – 70 = 0 \)

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta có thể dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ta tìm hai số có tích bằng -70 và tổng bằng 9. Đó là 14 và -5.

\( (B + 14)(B – 5) = 0 \)

Từ đó, ta có hai nghiệm cho \( B \):

• \( B + 14 = 0 \Rightarrow B = -14 \)
• \( B – 5 = 0 \Rightarrow B = 5 \)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và tìm số

Chúng ta đã đặt điều kiện cho \( B \) là \( B \in \{1, 2, …, 9\} \).

• Với \( B = -14 \): Giá trị này không phải là chữ số và không thỏa mãn điều kiện \( B \in \{1, 2, …, 9\} \). Vậy, ta loại nghiệm này.
• Với \( B = 5 \): Giá trị này là một chữ số và thỏa mãn điều kiện \( B \in \{1, 2, …, 9\} \). Vậy, \( B = 5 \) là nghiệm hợp lệ.

Bây giờ, thay \( B = 5 \) vào phương trình (3) để tìm \( A \):

\( A = 7 – B \)

\( A = 7 – 5 \)

\( A = 2 \)

Chữ số \( A = 2 \) thỏa mãn điều kiện \( A \in \{1, 2, …, 9\} \).

Vậy, chữ số hàng chục là \( A = 2 \) và chữ số hàng đơn vị là \( B = 5 \).

Số tự nhiên cần tìm là \( \overline{AB} = 25 \).

Kiểm tra lại:

• Tổng các chữ số: \( 2 + 5 = 7 \) (Đúng).
• Nghịch đảo của số đó: \( \frac{1}{25} \).
• Bình phương nghịch đảo của chữ số hàng đơn vị: \( \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25} \) (Đúng).

Bước 5: Tính toán kết quả cuối cùng

Đề bài yêu cầu tìm “Hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị”.

Hiệu cần tìm là \( A – B \).

\( A – B = 2 – 5 = -3 \).

Kết luận:

Số tự nhiên có hai chữ số thỏa mãn đề bài là \( 25 \).
Hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là \( 2 – 5 = -3 \).