Bài toán của chúng ta là: Tính tổng: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100.

Đây là một dạng bài toán mà nhìn qua có vẻ hơi dài và mất thời gian nếu chúng ta cứ cộng lần lượt từng số. Tuy nhiên, với một mẹo nhỏ, chúng ta sẽ giải bài toán này một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Chúng ta sẽ sử dụng một công thức rất hay, được gọi là công thức tính tổng của cấp số cộng.

Bước 1: Quan sát quy luật của dãy số

Chúng ta có dãy số: 1, 2, 3, 4, …, 100.
Đây là một dãy các số tự nhiên liên tiếp, bắt đầu từ 1 và kết thúc ở 100.
Mỗi số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị.

Bước 2: Áp dụng phương pháp “Ghép cặp” của Gauss

Có một câu chuyện rất hay về nhà toán học lỗi lạc Carl Friedrich Gauss khi ông còn nhỏ. Thầy giáo muốn phạt ông bằng cách yêu cầu ông cộng tất cả các số từ 1 đến 100. Nhưng Gauss đã nhanh chóng tìm ra cách giải và làm xong bài tập trong vài phút. Ông đã dùng phương pháp mà chúng ta sẽ học đây.

Chúng ta sẽ viết dãy số theo hai cách: một cách xuôi và một cách ngược.

Dãy xuôi: \( S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 \)
Dãy ngược: \( S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng hai dãy số này lại với nhau, theo từng cột dọc:

\( S + S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) \)

Chúng ta hãy xem mỗi cặp số trong ngoặc cộng lại bằng bao nhiêu:
\( 1 + 100 = 101 \)
\( 2 + 99 = 101 \)
\( 3 + 98 = 101 \)
…
\( 98 + 3 = 101 \)
\( 99 + 2 = 101 \)
\( 100 + 1 = 101 \)

Tuyệt vời! Mỗi cặp số đều có tổng là 101.

Bây giờ, chúng ta cần biết có bao nhiêu cặp số như vậy. Vì dãy số của chúng ta có 100 số hạng (từ 1 đến 100), nên chúng ta sẽ có 100 cặp số.

Vậy, tổng của hai dãy số \( S \) là:
\( 2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 \) (có 100 lần số 101)

Để tính tổng này, chúng ta chỉ cần nhân số hạng (101) với số lần xuất hiện (100):
\( 2S = 101 \times 100 \)
\( 2S = 10100 \)

Cuối cùng, vì chúng ta đã cộng hai lần tổng \( S \) lại với nhau, nên để tìm tổng \( S \) ban đầu, chúng ta chia kết quả cho 2:
\( S = \frac{10100}{2} \)
\( S = 5050 \)

Vậy, tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 100 là 5050.

Bước 3: Tổng quát hóa bằng công thức

Chúng ta có thể rút ra một công thức chung để tính tổng của \( n \) số tự nhiên đầu tiên:

Tổng \( S_n = 1 + 2 + 3 + … + n \)
Áp dụng phương pháp tương tự, ta có:
\( 2S_n = (1+n) + (2+(n-1)) + … + (n+1) \)
\( 2S_n = (n+1) + (n+1) + … + (n+1) \) (có \( n \) lần)
\( 2S_n = n \times (n+1) \)
\( S_n = \frac{n \times (n+1)}{2} \)

Trong bài toán của chúng ta, \( n = 100 \).
Áp dụng công thức:
\( S_{100} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} \)
\( S_{100} = \frac{100 \times 101}{2} \)
\( S_{100} = \frac{10100}{2} \)
\( S_{100} = 5050 \)

Kết quả hoàn toàn trùng khớp.

Như vậy, các em thấy không, với một chút suy luận và công thức, chúng ta có thể giải quyết những bài toán tưởng chừng phức tạp một cách dễ dàng.

Bài tập về nhà cho các em là: Tính tổng: 1 + 2 + 3 + … + 200.
Các em hãy thử áp dụng công thức này nhé!

Chúc các em học tốt!