Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị liên quan đến các biểu thức đại số và tìm điều kiện để biểu thức đó bằng một giá trị cụ thể.

Đề bài của chúng ta như sau:

Cho hai biểu thức:
\(P = \frac{2x}{x-4}\)
\(Q = \frac{1}{\sqrt{x}+2}\)

Đặt \(M = P : Q\). Tìm các giá trị của \(x\) để \(M = 18\).

—

Phân tích đề bài:

Đầu tiên, chúng ta cần xác định rõ các yêu cầu của bài toán:
1. Tìm biểu thức \(M\) dưới dạng rút gọn nhất.
2. Tìm các giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện \(M = 18\).

—

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức

Trước khi thực hiện phép tính, chúng ta cần đảm bảo rằng các biểu thức có nghĩa.

Đối với biểu thức \(P = \frac{2x}{x-4}\):
Mẫu số \(x-4\) phải khác 0.
\(x – 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\)

Đối với biểu thức \(Q = \frac{1}{\sqrt{x}+2}\):
Điều kiện để căn bậc hai có nghĩa là biểu thức dưới dấu căn phải không âm.
\(x \geq 0\)
Ngoài ra, mẫu số \(\sqrt{x}+2\) phải khác 0.
Vì \(\sqrt{x} \geq 0\) với mọi \(x \geq 0\), nên \(\sqrt{x}+2 \geq 2\). Do đó, \(\sqrt{x}+2\) luôn khác 0.

Kết hợp các điều kiện, để cả hai biểu thức \(P\) và \(Q\) cùng có nghĩa, chúng ta cần:
\(x \geq 0\) và \(x \neq 4\).

—

Bước 2: Tính biểu thức M

Theo đề bài, \(M = P : Q\). Phép chia cho một phân thức chính là nhân với nghịch đảo của phân thức đó.
\(M = P \times \frac{1}{Q}\)
Ta có:
\(M = \frac{2x}{x-4} : \frac{1}{\sqrt{x}+2}\)
\(M = \frac{2x}{x-4} \times \frac{\sqrt{x}+2}{1}\)
\(M = \frac{2x(\sqrt{x}+2)}{x-4}\)

Bây giờ, chúng ta cần rút gọn biểu thức \(M\) này nếu có thể.
Ta nhận thấy rằng \(x-4\) có thể được viết lại dưới dạng bình phương của một hiệu: \(x-4 = (\sqrt{x})^2 – 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\).
Tuy nhiên, chúng ta phải cẩn thận với điều kiện \(x \geq 0\). Nếu \(x \geq 0\), thì \(\sqrt{x}\) là một số thực không âm.

Thay \(x-4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\) vào biểu thức \(M\):
\(M = \frac{2x(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

Với điều kiện \(x \geq 0\) và \(x \neq 4\), chúng ta có \(\sqrt{x}+2 \geq 2\), do đó \(\sqrt{x}+2 \neq 0\).
Chúng ta có thể rút gọn nhân tử \(\sqrt{x}+2\) ở cả tử và mẫu:
\(M = \frac{2x}{\sqrt{x}-2}\)

Vậy, biểu thức \(M\) sau khi rút gọn là \(M = \frac{2x}{\sqrt{x}-2}\), với điều kiện xác định là \(x \geq 0\) và \(x \neq 4\).

—

Bước 3: Tìm các giá trị của x để M = 18

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình \(M = 18\):
\(\frac{2x}{\sqrt{x}-2} = 18\)

Chúng ta cần giải phương trình này trong điều kiện \(x \geq 0\) và \(x \neq 4\).
Trước hết, chúng ta cần làm cho mẫu số khác 0. Điều này đã được đảm bảo bởi điều kiện \(x \neq 4\), tức là \(\sqrt{x} \neq 2\), hay \(\sqrt{x}-2 \neq 0\).

Nhân cả hai vế của phương trình với \(\sqrt{x}-2\):
\(2x = 18(\sqrt{x}-2)\)
\(2x = 18\sqrt{x} – 36\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành một phương trình bậc hai theo \(\sqrt{x}\):
\(2x – 18\sqrt{x} + 36 = 0\)

Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa phương trình:
\(x – 9\sqrt{x} + 18 = 0\)

Để giải phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ. Đặt \(y = \sqrt{x}\).
Vì \(x \geq 0\), nên \(y = \sqrt{x} \geq 0\).
Khi đó, \(x = y^2\).
Thay vào phương trình, ta được:
\(y^2 – 9y + 18 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai với biến \(y\). Chúng ta có thể giải phương trình này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm.

* Phương pháp phân tích thành nhân tử:
Chúng ta cần tìm hai số có tổng bằng \(-9\) và tích bằng \(18\). Hai số đó là \(-3\) và \(-6\).
\(y^2 – 3y – 6y + 18 = 0\)
\(y(y – 3) – 6(y – 3) = 0\)
\((y – 3)(y – 6) = 0\)

Suy ra, \(y – 3 = 0\) hoặc \(y – 6 = 0\).
\(y = 3\) hoặc \(y = 6\).

* Kiểm tra điều kiện cho y:
Chúng ta đã đặt \(y = \sqrt{x}\) và điều kiện là \(y \geq 0\). Cả hai giá trị \(y=3\) và \(y=6\) đều thỏa mãn điều kiện này.

Bây giờ, chúng ta quay trở lại với biến \(x\).

* Trường hợp 1: \(y = 3\)
\(\sqrt{x} = 3\)
Bình phương cả hai vế:
\(x = 3^2\)
\(x = 9\)

* Trường hợp 2: \(y = 6\)
\(\sqrt{x} = 6\)
Bình phương cả hai vế:
\(x = 6^2\)
\(x = 36\)

—

Bước 4: Kiểm tra lại các giá trị x tìm được với điều kiện xác định

Chúng ta đã tìm được hai giá trị của \(x\) là \(9\) và \(36\). Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị này có thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu của bài toán là \(x \geq 0\) và \(x \neq 4\) hay không.

* Với \(x = 9\):
\(9 \geq 0\) (Thỏa mãn)
\(9 \neq 4\) (Thỏa mãn)
Vậy, \(x = 9\) là một nghiệm hợp lệ.

* Với \(x = 36\):
\(36 \geq 0\) (Thỏa mãn)
\(36 \neq 4\) (Thỏa mãn)
Vậy, \(x = 36\) là một nghiệm hợp lệ.

Chúng ta cũng có thể kiểm tra lại bằng cách thay các giá trị này vào biểu thức \(M = \frac{2x}{\sqrt{x}-2}\).

* Nếu \(x = 9\):
\(M = \frac{2(9)}{\sqrt{9}-2} = \frac{18}{3-2} = \frac{18}{1} = 18\) (Thỏa mãn)

* Nếu \(x = 36\):
\(M = \frac{2(36)}{\sqrt{36}-2} = \frac{72}{6-2} = \frac{72}{4} = 18\) (Thỏa mãn)

—

Kết luận:

Các giá trị của \(x\) để \(M = 18\) là \(x = 9\) và \(x = 36\).

—

Các em thấy không, để giải bài toán này, chúng ta cần đi qua các bước cẩn thận: xác định điều kiện, rút gọn biểu thức, giải phương trình và cuối cùng là kiểm tra lại các nghiệm tìm được với điều kiện ban đầu.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em hãy mạnh dạn hỏi nhé!