Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức

a) \( \left(\frac{1}{3}\right)^2 – \frac{49}{25} \)

Đầu tiên, chúng ta sẽ tính giá trị của \( \left(\frac{1}{3}\right)^2 \).

\( \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép trừ:

\( \frac{1}{9} – \frac{49}{25} \)

Để trừ hai phân số, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 9 và 25 là \( 9 \times 25 = 225 \).

\( \frac{1}{9} = \frac{1 \times 25}{9 \times 25} = \frac{25}{225} \)

\( \frac{49}{25} = \frac{49 \times 9}{25 \times 9} = \frac{441}{225} \)

Vậy, biểu thức trở thành:

\( \frac{25}{225} – \frac{441}{225} = \frac{25 – 441}{225} = \frac{-416}{225} \)

Đáp số: \( \frac{-416}{225} \)

Bài tập 2: Tìm x trong phương trình

b) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} = \frac{1}{8} \)

Để giải phương trình này, chúng ta cần đưa hai vế về cùng cơ số.

Ta thấy \( \frac{1}{8} \) có thể viết lại dưới dạng lũy thừa của \( \frac{1}{2} \).

\( \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \)

Vậy phương trình trở thành:

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \)

Khi hai lũy thừa có cùng cơ số và bằng nhau, thì các số mũ của chúng cũng bằng nhau.

\( 2x – 1 = 3 \)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc nhất này:

\( 2x = 3 + 1 \)

\( 2x = 4 \)

\( x = \frac{4}{2} \)

\( x = 2 \)

Đáp số: \( x = 2 \)

c) \( \left(-\frac{3}{7}\right)^{2x-1} = -\frac{27}{49} \)

Tương tự như bài trên, chúng ta cần đưa hai vế về cùng cơ số. Cơ số ở vế trái là \( -\frac{3}{7} \).

Ta phân tích vế phải:

\( -\frac{27}{49} = -\frac{3^3}{7^2} \)

Chúng ta có thể viết lại \( -\frac{27}{49} \) dưới dạng lũy thừa của \( -\frac{3}{7} \). Lưu ý rằng một lũy thừa bậc lẻ của một số âm sẽ mang dấu âm, còn lũy thừa bậc chẵn sẽ mang dấu dương.

Ta thử với \( \left(-\frac{3}{7}\right)^1 = -\frac{3}{7} \)

Ta thử với \( \left(-\frac{3}{7}\right)^2 = \left(-\frac{3}{7}\right) \times \left(-\frac{3}{7}\right) = \frac{9}{49} \)

Ta thử với \( \left(-\frac{3}{7}\right)^3 = \left(-\frac{3}{7}\right) \times \left(-\frac{3}{7}\right) \times \left(-\frac{3}{7}\right) = \frac{9}{49} \times \left(-\frac{3}{7}\right) = -\frac{27}{343} \)

Có vẻ như \( -\frac{27}{49} \) không phải là lũy thừa nguyên của \( -\frac{3}{7} \) với số mũ là số nguyên. Tuy nhiên, nếu đề bài có sai sót và ý muốn là \( \left(-\frac{3}{7}\right)^{2x-1} = -\frac{27}{343} \), thì ta sẽ giải như sau:

\( \left(-\frac{3}{7}\right)^{2x-1} = \left(-\frac{3}{7}\right)^3 \)

\( 2x – 1 = 3 \)

\( 2x = 4 \)

\( x = 2 \)

Nếu đề bài đúng là \( -\frac{27}{49} \), thì phương trình này sẽ không có nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ đơn giản. Giả sử đề bài có nhầm lẫn và ta giải với \( -\frac{27}{343} \).

Đáp số (với giả định \( -\frac{27}{343} \)): \( x = 2 \)

d) \( \left(2x – \frac{1}{2}\right)^3 = -2 \)

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ lấy căn bậc ba cả hai vế.

\( \sqrt[3]{\left(2x – \frac{1}{2}\right)^3} = \sqrt[3]{-2} \)

\( 2x – \frac{1}{2} = \sqrt[3]{-2} \)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình tìm \( x \):

\( 2x = \sqrt[3]{-2} + \frac{1}{2} \)

\( x = \frac{\sqrt[3]{-2} + \frac{1}{2}}{2} \)

\( x = \frac{\sqrt[3]{-2}}{2} + \frac{1}{4} \)

Đáp số: \( x = \frac{\sqrt[3]{-2}}{2} + \frac{1}{4} \)

Lưu ý: \( \sqrt[3]{-2} \) là một số vô tỉ, nên kết quả cuối cùng cũng sẽ là một số vô tỉ.

e) \( \left(2x – \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{16} \)

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất: nếu \( a^2 = b^2 \) thì \( a = b \) hoặc \( a = -b \).

Ta có \( \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \).

Vậy phương trình trở thành:

\( \left(2x – \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \)

Do đó, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:

\( 2x – \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)

\( 2x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \)

\( 2x = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} \)

\( 2x = \frac{3}{4} \)

\( x = \frac{3}{4} \div 2 \)

\( x = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \)

\( x = \frac{3}{8} \)

Trường hợp 2:

\( 2x – \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \)

\( 2x = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \)

\( 2x = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} \)

\( 2x = \frac{1}{4} \)

\( x = \frac{1}{4} \div 2 \)

\( x = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \)

\( x = \frac{1}{8} \)

Đáp số: \( x = \frac{3}{8} \) hoặc \( x = \frac{1}{8} \)

Các em thấy đó, việc nắm vững quy tắc lũy thừa và cách giải phương trình là rất quan trọng. Hãy ôn tập thật kỹ nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!