Chào các em học sinh lớp 6 yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em chinh phục một dạng bài toán rất thú vị liên quan đến tổng của các lũy thừa tăng dần. Bài toán này có tên gọi là chuỗi cấp số nhân lùi, nhưng ở cấp độ lớp 6, chúng ta sẽ tìm cách giải quyết nó bằng những kiến thức đã học nhé.

Các em nhìn vào đề bài, chúng ta có 4 biểu thức S, tất cả đều có dạng là tổng của các số hạng được tạo thành từ lũy thừa của một số cố định. Chúng ta sẽ đi giải quyết từng S một cách chi tiết.

Bài toán: Tính S

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

S = 1 + 3 + 3² + 3³ + …. + 3²⁰¹⁷

S = 1 + 4 + 4² + 4³ + ….. + 4²⁰¹⁷

S = 1 + 5 + 5² + 5³ + ….. + 5²⁰¹⁷

—

Phần 1: Tính S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

Đây là một dạng bài mà chúng ta sẽ sử dụng một “mẹo” nhỏ để giải. Các em hãy cùng quan sát cách thầy làm nhé.

Ta có: S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

Nhân cả hai vế của S với cơ số của lũy thừa, ở đây là 2:

2S = 2 * (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

2S = 2*1 + 2*2 + 2*2² + 2*2³ + … + 2*2²⁰¹⁷

2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸

Bây giờ, các em hãy lấy 2S trừ đi S. Các em sẽ thấy có rất nhiều số hạng bị triệt tiêu, chỉ còn lại số đầu tiên của S và số cuối cùng của 2S.

2S – S = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸) – (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

S = 2²⁰¹⁸ – 1

Vậy, kết quả của S trong trường hợp này là: S = \( 2^{2018} – 1 \)

—

Phần 2: Tính S = 1 + 3 + 3² + 3³ + …. + 3²⁰¹⁷

Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tương tự như ở Phần 1. Ở đây, cơ số của lũy thừa là 3.

Ta có: S = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰¹⁷

Nhân cả hai vế của S với 3:

3S = 3 * (1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰¹⁷)

3S = 3*1 + 3*3 + 3*3² + 3*3³ + … + 3*3²⁰¹⁷

3S = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

Lấy 3S trừ đi S:

3S – S = (3 + 3² + 3³ + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸) – (1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰¹⁷)

2S = 3²⁰¹⁸ – 1

Để tìm S, ta chia cả hai vế cho 2:

S = \( \frac{3^{2018} – 1}{2} \)

Vậy, kết quả của S trong trường hợp này là: S = \( \frac{3^{2018} – 1}{2} \)

—

Phần 3: Tính S = 1 + 4 + 4² + 4³ + ….. + 4²⁰¹⁷

Tiếp tục áp dụng phương pháp quen thuộc với cơ số là 4.

Ta có: S = 1 + 4 + 4² + 4³ + … + 4²⁰¹⁷

Nhân cả hai vế của S với 4:

4S = 4 * (1 + 4 + 4² + 4³ + … + 4²⁰¹⁷)

4S = 4*1 + 4*4 + 4*4² + 4*4³ + … + 4*4²⁰¹⁷

4S = 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + … + 4²⁰¹⁸

Lấy 4S trừ đi S:

4S – S = (4 + 4² + 4³ + 4⁴ + … + 4²⁰¹⁸) – (1 + 4 + 4² + 4³ + … + 4²⁰¹⁷)

3S = 4²⁰¹⁸ – 1

Để tìm S, ta chia cả hai vế cho 3:

S = \( \frac{4^{2018} – 1}{3} \)

Vậy, kết quả của S trong trường hợp này là: S = \( \frac{4^{2018} – 1}{3} \)

—

Phần 4: Tính S = 1 + 5 + 5² + 5³ + ….. + 5²⁰¹⁷

Cuối cùng, chúng ta sẽ giải trường hợp với cơ số là 5.

Ta có: S = 1 + 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰¹⁷

Nhân cả hai vế của S với 5:

5S = 5 * (1 + 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰¹⁷)

5S = 5*1 + 5*5 + 5*5² + 5*5³ + … + 5*5²⁰¹⁷

5S = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + … + 5²⁰¹⁸

Lấy 5S trừ đi S:

5S – S = (5 + 5² + 5³ + 5⁴ + … + 5²⁰¹⁸) – (1 + 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰¹⁷)

4S = 5²⁰¹⁸ – 1

Để tìm S, ta chia cả hai vế cho 4:

S = \( \frac{5^{2018} – 1}{4} \)

Vậy, kết quả của S trong trường hợp này là: S = \( \frac{5^{2018} – 1}{4} \)

—

Giải thích chung về phương pháp:

Các em thấy đấy, với những bài toán có dạng tổng như thế này, phương pháp “nhân và trừ” rất hiệu quả. Chúng ta gọi dạng tổng này là một cấp số nhân.

Cụ thể, nếu ta có một tổng:

S = a + a² + a³ + … + aⁿ

(Trong đó, a là cơ số và n là số mũ cuối cùng, và chúng ta ngầm hiểu số hạng đầu tiên là \( a^1 \), nhưng đề bài cho thêm số 1 ở đầu tiên, tức là \( a^0 \).)

Ở đây, tổng của chúng ta có dạng:

S = 1 + q + q² + q³ + … + qⁿ

với q là cơ số và n là số mũ cuối cùng.

Các bước làm chung là:

1. Nhân S với cơ số q: \( qS = q + q^2 + q^3 + … + q^{n+1} \)
2. Lấy \( qS – S \): \( (qS – S) = (q + q^2 + … + q^{n+1}) – (1 + q + … + q^n) \)
3. Thu gọn: \( S(q-1) = q^{n+1} – 1 \)
4. Tìm S: \( S = \frac{q^{n+1} – 1}{q-1} \)

Áp dụng vào bài toán của chúng ta:

Trong tất cả các trường hợp, số mũ cuối cùng là \( n = 2017 \). Vậy \( n+1 = 2018 \).

• Trường hợp 1: \( q = 2 \). \( S = \frac{2^{2018} – 1}{2-1} = 2^{2018} – 1 \)
• Trường hợp 2: \( q = 3 \). \( S = \frac{3^{2018} – 1}{3-1} = \frac{3^{2018} – 1}{2} \)
• Trường hợp 3: \( q = 4 \). \( S = \frac{4^{2018} – 1}{4-1} = \frac{4^{2018} – 1}{3} \)
• Trường hợp 4: \( q = 5 \). \( S = \frac{5^{2018} – 1}{5-1} = \frac{5^{2018} – 1}{4} \)

Các em thấy chưa nào? Phương pháp này rất hiệu quả và giúp chúng ta tính toán nhanh chóng các tổng lũy thừa.

Các em hãy ôn tập kỹ phương pháp này nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!