1)tìm tất cả các cặp số nguyên tố p,q thỏa mãn p+q và p+9q đều là số chính phươn…
2)tìm tất cả các cặp số nguyên tố p,q thỏa mãn 9p^2-5pq+p^2 là số chính phương
3) cho p,q là 2 số nguyên tố và n là số tự nhiên thỏa mãn p^5-q^5=n(p+q) chứng minh rằng p=q
Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết ba bài toán về số nguyên tố và số chính phương. Các bài toán này đòi hỏi sự phân tích logic và kỹ năng biến đổi đại số. Chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu nhé!
Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố \(p, q\) thỏa mãn \(p+q\) và \(p+9q\) đều là số chính phương.
Giải:
Gọi \(p\) và \(q\) là các số nguyên tố.
Theo đề bài, ta có:
\(p+q = a^2\) (1)
\(p+9q = b^2\) (2)
Với \(a, b\) là các số nguyên dương. Do \(p, q\) là số nguyên tố nên \(p \ge 2\), \(q \ge 2\).
Từ đó, \(a^2 = p+q \ge 2+2=4\), suy ra \(a \ge 2\).
Cũng dễ thấy \(b^2 = p+9q > p+q = a^2\), nên \(b > a\).
Trừ phương trình (1) cho phương trình (2) theo vế, ta được:
\((p+9q) – (p+q) = b^2 – a^2\)
\(8q = (b-a)(b+a)\)
Vì \(8q\) là số chẵn, nên \((b-a)(b+a)\) là số chẵn. Hơn nữa, \((b+a) – (b-a) = 2a\) là số chẵn, suy ra \(b+a\) và \(b-a\) phải cùng tính chẵn lẻ. Do tích của chúng là số chẵn, nên cả \(b-a\) và \(b+a\) đều phải là số chẵn.
Đặt \(b-a = 2k\) và \(b+a = 2m\), với \(k, m\) là các số nguyên dương.
Vì \(b > a\), nên \(b+a > b-a\), suy ra \(m > k\).
Thay vào phương trình \(8q = (b-a)(b+a)\), ta được:
\(8q = (2k)(2m)\)
\(8q = 4km\)
\(2q = km\)
Vì \(q\) là số nguyên tố, nên \(2q\) có các ước số dương là \(1, 2, q, 2q\). Do \(m > k\), ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: \(k=1\) và \(m=2q\)
Ta có hệ phương trình:
\(b-a = 2k = 2\)
\(b+a = 2m = 4q\)
Cộng hai phương trình, ta được \(2b = 4q+2 \implies b = 2q+1\).
Trừ hai phương trình, ta được \(2a = 4q-2 \implies a = 2q-1\).
Thay \(a = 2q-1\) vào phương trình (1):
\(p+q = (2q-1)^2\)
\(p+q = 4q^2 – 4q + 1\)
\(p = 4q^2 – 5q + 1\)
\(p = (4q-1)(q-1)\)
Vì \(p\) là số nguyên tố, nên một trong các thừa số \((4q-1)\) hoặc \((q-1)\) phải bằng 1.
- Nếu \(q-1 = 1 \implies q=2\).
Thay \(q=2\) vào biểu thức của \(p\): \(p = (4 \cdot 2 – 1)(2-1) = (8-1)(1) = 7 \cdot 1 = 7\).
Cặp số \((p,q) = (7,2)\) thỏa mãn điều kiện. Kiểm tra lại:
\(p+q = 7+2 = 9 = 3^2\) (là số chính phương).
\(p+9q = 7+9(2) = 7+18 = 25 = 5^2\) (là số chính phương).
Vậy \((7,2)\) là một cặp số thỏa mãn. - Nếu \(4q-1 = 1 \implies 4q=2 \implies q=1/2\). Đây không phải là số nguyên tố.
Trường hợp 2: \(k=2\) và \(m=q\)
Điều kiện \(m > k\) suy ra \(q > 2\). Vậy \(q\) phải là một số nguyên tố lẻ.
Ta có hệ phương trình:
\(b-a = 2k = 4\)
\(b+a = 2m = 2q\)
Cộng hai phương trình, ta được \(2b = 2q+4 \implies b = q+2\).
Trừ hai phương trình, ta được \(2a = 2q-4 \implies a = q-2\).
Thay \(a = q-2\) vào phương trình (1):
\(p+q = (q-2)^2\)
\(p+q = q^2 – 4q + 4\)
\(p = q^2 – 5q + 4\)
\(p = (q-1)(q-4)\)
Vì \(p\) là số nguyên tố, nên một trong các thừa số \((q-1)\) hoặc \((q-4)\) phải bằng 1.
- Nếu \(q-1 = 1 \implies q=2\).
Trường hợp này mâu thuẫn với điều kiện \(q>2\). - Nếu \(q-4 = 1 \implies q=5\).
Đây là một số nguyên tố lẻ, thỏa mãn điều kiện \(q>2\).
Thay \(q=5\) vào biểu thức của \(p\): \(p = (5-1)(5-4) = 4 \cdot 1 = 4\).
Số \(p=4\) không phải là số nguyên tố.
Vậy, chỉ có một cặp số nguyên tố \((p,q)\) thỏa mãn đề bài là \((7,2)\).
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố \(p, q\) thỏa mãn \(9p^2-5pq+p^2\) là số chính phương.
Giải:
Trước hết, ta rút gọn biểu thức đã cho:
\(9p^2-5pq+p^2 = 10p^2-5pq = 5p(2p-q)\)
Gọi \(5p(2p-q) = k^2\) với \(k\) là số nguyên không âm.
Vì \(k^2 \ge 0\), và \(p\) là số nguyên tố nên \(p > 0\). Do đó \(2p-q \ge 0\), hay \(2p \ge q\).
Từ phương trình \(5p(2p-q) = k^2\), ta thấy \(k^2\) phải chia hết cho 5, suy ra \(k\) phải chia hết cho 5. Đặt \(k=5m\) với \(m\) là số nguyên không âm.
\(5p(2p-q) = (5m)^2\)
\(5p(2p-q) = 25m^2\)
\(p(2p-q) = 5m^2\)
Ta xét hai trường hợp cho \(p\):
Trường hợp 1: \(p=5\)
Thay \(p=5\) vào phương trình \(p(2p-q) = 5m^2\):
\(5(2 \cdot 5 – q) = 5m^2\)
\(5(10 – q) = 5m^2\)
\(10 – q = m^2\)
Vì \(m^2 \ge 0\), nên \(10-q \ge 0 \implies q \le 10\).
Các số nguyên tố \(q\) thỏa mãn \(q \le 10\) là \(2, 3, 5, 7\). Ta kiểm tra từng giá trị:
- Nếu \(q=2\): \(10-2 = 8\), không phải số chính phương.
- Nếu \(q=3\): \(10-3 = 7\), không phải số chính phương.
- Nếu \(q=5\): \(10-5 = 5\), không phải số chính phương.
- Nếu \(q=7\): \(10-7 = 3\), không phải số chính phương.
Vậy, trường hợp \(p=5\) không cho ra cặp số nguyên tố nào thỏa mãn.
Trường hợp 2: \(p \ne 5\)
Từ phương trình \(p(2p-q) = 5m^2\).
Vì \(p\) là số nguyên tố và \(p \ne 5\), nên \(p\) không chia hết cho 5. Để \(p(2p-q)\) chia hết cho 5m^2, thì \(p\) phải là ước của \(m^2\). Điều này suy ra \(p\) phải là ước của \(m\). Đặt \(m = px\) với \(x\) là số nguyên không âm.
Thay \(m=px\) vào phương trình \(p(2p-q) = 5m^2\):
\(p(2p-q) = 5(px)^2\)
\(p(2p-q) = 5p^2x^2\)
Vì \(p \ne 0\), ta chia cả hai vế cho \(p\):
\(2p-q = 5px^2\)
\(q = 2p – 5px^2\)
\(q = p(2 – 5x^2)\)
Vì \(q\) là số nguyên tố, \(q > 0\). Do đó \(2-5x^2\) phải là số dương.
\(2-5x^2 > 0 \implies 5x^2 < 2 \implies x^2 < 2/5\)
Số nguyên \(x\) duy nhất thỏa mãn \(x^2 < 2/5\) là \(x=0\).
Thay \(x=0\) vào biểu thức của \(q\):
\(q = p(2 – 5 \cdot 0^2)\)
\(q = p(2) = 2p\)
Để \(q=2p\) là số nguyên tố, ta xét:
- Nếu \(p=2\), thì \(q=2 \cdot 2 = 4\). Số 4 không phải là số nguyên tố.
- Nếu \(p\) là một số nguyên tố lẻ (ví dụ: \(p=3, 5, 7, …\)), thì \(q=2p\) là một số chẵn lớn hơn 2, do đó \(2p\) không phải là số nguyên tố.
- \(p=1\) không phải số nguyên tố.
Vậy, không có cặp số nguyên tố \((p,q)\) nào thỏa mãn \(q=2p\).
Kết luận: Không có cặp số nguyên tố \((p,q)\) nào thỏa mãn \(9p^2-5pq+p^2\) là số chính phương.
Lưu ý của giáo viên:
Trong một số bài toán tương tự, đôi khi có sự nhầm lẫn về ký hiệu và đề bài có thể có dạng \(9p^2-5pq+q^2\) là số chính phương. Nếu đề bài có dạng đó, chúng ta sẽ có một lời giải khác dẫn đến một cặp nghiệm. Tuy nhiên, với đề bài được viết chính xác là \(9p^2-5pq+p^2\), thì không có nghiệm.
Bài 3: Cho \(p, q\) là 2 số nguyên tố và \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \(p^5-q^5=n(p+q)\). Chứng minh rằng \(p=q\).
Giải:
Theo công thức hiệu của hai lũy thừa bậc 5, ta có:
\(p^5-q^5 = (p-q)(p^4+p^3q+p^2q^2+pq^3+q^4)\)
Vậy phương trình đã cho trở thành:
\((p-q)(p^4+p^3q+p^2q^2+pq^3+q^4) = n(p+q)\)
Theo định nghĩa ở Việt Nam, “số tự nhiên” bao gồm các số \(0, 1, 2, 3, …\).
Ta cần chứng minh \(p=q\).
Trường hợp 1: \(p=q\)
Nếu \(p=q\), thay vào phương trình ban đầu:
\(p^5-p^5 = n(p+p)\)
\(0 = n(2p)\)
Vì \(p\) là số nguyên tố, \(p \ge 2\), nên \(2p \ne 0\).
Do đó, để đẳng thức \(0 = n(2p)\) đúng, ta phải có \(n=0\).
Vì \(n=0\) là một số tự nhiên, nên trường hợp \(p=q\) là hợp lệ và thỏa mãn phương trình với \(n=0\).
Trường hợp 2: \(p \ne q\)
Từ phương trình \((p-q)(p^4+p^3q+p^2q^2+pq^3+q^4) = n(p+q)\), ta thấy \(p+q\) là ước của \((p-q)(p^4+p^3q+p^2q^2+pq^3+q^4)\).
Mặt khác, ta biết rằng \(p \equiv -q \pmod{p+q}\).
Xét \(p^5-q^5 \pmod{p+q}\):
\(p^5-q^5 \equiv (-q)^5 – q^5 \pmod{p+q}\)
\(p^5-q^5 \equiv -q^5 – q^5 \pmod{p+q}\)
\(p^5-q^5 \equiv -2q^5 \pmod{p+q}\)
Vì \(p^5-q^5 = n(p+q)\), suy ra \(p^5-q^5\) chia hết cho \(p+q\), tức là \(p^5-q^5 \equiv 0 \pmod{p+q}\).
Từ đó, ta có:
\(-2q^5 \equiv 0 \pmod{p+q}\)
Điều này có nghĩa là \(p+q\) phải là ước của \(2q^5\).
Do \(p, q\) là các số nguyên tố và \(p \ne q\).
Phân tích các ước số của \(p+q\):
- Nếu \(q\) là ước của \(p+q\):
Vì \(q\) chia hết cho \(q\), nên \(q\) phải chia hết cho \(p\).
Mà \(p, q\) là số nguyên tố, \(q\) chia hết cho \(p\) chỉ xảy ra khi \(q=p\).
Điều này mâu thuẫn với giả định \(p \ne q\).
Vậy, nếu \(p \ne q\), thì \(q\) không là ước của \(p+q\). Nói cách khác, \(gcd(q, p+q) = 1\).
Vì \(p+q\) là ước của \(2q^5\), và \(gcd(q, p+q) = 1\), suy ra \(p+q\) phải là ước của 2.
Các ước số dương của 2 là 1 và 2.
Vì \(p, q\) là các số nguyên tố, nên giá trị nhỏ nhất của \(p\) và \(q\) là 2.
Nếu \(p \ne q\), thì giá trị nhỏ nhất của \(p+q\) là \(2+3=5\).
(Ví dụ: \(p=2, q=3 \implies p+q=5\); hoặc \(p=3, q=5 \implies p+q=8\)).
Vậy, \(p+q \ge 5\).
Điều này mâu thuẫn với kết luận \(p+q\) là ước của 2 (nghĩa là \(p+q\) chỉ có thể là 1 hoặc 2).
Sự mâu thuẫn này chứng tỏ giả định \(p \ne q\) là sai.
Do đó, điều bắt buộc là \(p=q\).
Kết luận:
Từ các phân tích trên, ta chứng minh được rằng \(p=q\).
Đáp án:
⇒ Ở dưới
Giải thích các bước giải:
1)
\(\displaystyle p+q = a^2\) và \(\displaystyle p+9q = b^2\) (\(a, b \in \mathbb{N}^*\))
\(\displaystyle 8q = (b-a)(b+a)\)
\(\displaystyle \begin{cases} b-a = 2 \\ b+a = 4q \end{cases}\)
\(\Rightarrow \begin{cases} a = 2q-1 \\ b = 2q+1 \end{cases}\)
\(\displaystyle p+q = (2q-1)^2 \Rightarrow p = (q-1)(4q-1)\)
Vì \(p, q\) là số nguyên tố \(\Rightarrow q-1 = 1 \Rightarrow q = 2\)
\(\displaystyle p = (2-1)(4 \cdot 2 – 1) = 7\)
⇒ Vế: \(\displaystyle (p, q) = (7, 2)\)
2)
\(\displaystyle 9p^2 – 5pq + q^2 = k^2\)
\(\displaystyle (2k – 6p + q)(2k + 6p – q) = 3q^2\)
\(\displaystyle \begin{cases} 2k – 6p + q = 1 \\ 2k + 6p – q = 3q^2 \end{cases} \Rightarrow 12p = (3q-1)(q+1)\)
Vì \(\displaystyle (3q-1) \in \text{Ư}(12)\) và \(q\) là số nguyên tố \(\Rightarrow q = 5\)
\(\displaystyle 12p = (3 \cdot 5 – 1)(5 + 1) = 84 \Rightarrow p = 7\)
⇒ Vế: \(\displaystyle (p, q) = (7, 5)\)
3)
\(\displaystyle p^5 – q^5 = n(p+q)\)
⇒ Nếu \(p = q \Rightarrow 0 = n(2p)\) (đúng với \(n = 0\))
⇒ Nếu \(p \neq q\), giả sử \(p > q\):
\(\displaystyle p^5 – q^5 \;\vdots\; (p+q)\)
-Mà \(\displaystyle p \equiv -q \pmod{p+q}\)
\(\displaystyle \Rightarrow (-q)^5 – q^5 \equiv -2q^5 \pmod{p+q}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 2q^5 \;\vdots\; (p+q)\)
Vì \(p, q\) là số nguyên tố và \(p > q \Rightarrow p+q\)
⇒ không thể là ước của \(2q^5\) trừ khi \(p = q\) (mâu thuẫn)
⇒ Vậy \(\displaystyle p = q\)
\(\color{#0B6623}{꧁༺}\]\color{#0F7A2F}{𝔪}\[\color{#138F3C}{𝔲}\]\color{#17A34A}{𝔃}\[\color{#2EBF5E}{𝔃}\]\color{#4DD17A}{𝔞}\[\color{#6FE095}{𝖘}\]\color{#8BE8AA}{༻꧂}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{align*} & \text{1) Giả sử } p+q = a^2 \text{ và } p+9q = b^2 \text{ (với } a,b \in \mathbb{N}^*, b > a \text{).} \\ & \text{Trừ vế theo vế hai phương trình trên, ta có:} \\ & b^2 – a^2 = 8q \Leftrightarrow (b-a)(b+a) = 8q \\ & \text{Vì tổng } (b-a) + (b+a) = 2b \text{ là số chẵn,} \\ & \text{nên } b-a \text{ và } b+a \text{ phải có cùng tính chẵn lẻ.} \\ & \text{Mặt khác, tích của chúng là } 8q \text{ (là một số chẵn),} \\ & \text{do đó cả } b-a \text{ và } b+a \text{ đều phải là số chẵn.} \\ & \text{Đặt } b-a = 2u \text{ và } b+a = 2v \text{ (với } u,v \in \mathbb{N}^*, u < v \text{).} \\ & \text{Khi đó ta có: } (2u)(2v) = 8q \Leftrightarrow uv = 2q \\ & \text{Vì } q \text{ là số nguyên tố và } u < v \text{, ta xét các trường hợp:} \\ & \text{Trường hợp 1: } u = 1, v = 2q \\ & \Rightarrow b-a = 2 \text{ và } b+a = 4q \Rightarrow a = \frac{4q-2}{2} = 2q-1 \\ & \text{Thay } a = 2q-1 \text{ vào phương trình } p+q = a^2 \text{, ta được:} \\ & p+q = (2q-1)^2 \Rightarrow p = 4q^2 – 5q + 1 = (q-1)(4q-1) \\ & \text{Vì } p \text{ là số nguyên tố nên ước nhỏ hơn là } q-1 \text{ phải bằng } 1 \\ & \text{(do } 4q-1 > q-1 \text{ với mọi số nguyên tố } q \text{).} \\ & \Rightarrow q – 1 = 1 \Rightarrow q = 2 \text{ (thoả mãn là số nguyên tố).} \\ & \text{Với } q = 2 \Rightarrow p = (2-1)(4 \cdot 2 – 1) = 7 \text{ (thoả mãn là số nguyên tố).} \\ & \text{Thử lại: } p+q = 9 = 3^2 \text{ và } p+9q = 25 = 5^2 \text{ (thoả mãn).} \\ & \text{Trường hợp 2: } u = 2, v = q \text{ (kèm điều kiện } q > 2 \text{)} \\ & \Rightarrow b-a = 4 \text{ và } b+a = 2q \Rightarrow a = \frac{2q-4}{2} = q-2 \\ & \text{Thay } a = q-2 \text{ vào phương trình } p+q = a^2 \text{, ta được:} \\ & p+q = (q-2)^2 \Rightarrow p = q^2 – 5q + 4 = (q-1)(q-4) \\ & \text{Vì } p \text{ nguyên tố và } q > 2 \text{ nên } q-1 > 1 \text{.} \\ & \text{Do đó ước nhỏ hơn là } q-4 \text{ bắt buộc phải bằng } 1. \\ & \Rightarrow q – 4 = 1 \Rightarrow q = 5 \text{ (thoả mãn là số nguyên tố).} \\ & \text{Với } q = 5 \Rightarrow p = (5-1)(5-4) = 4 \text{ (không là số nguyên tố, loại).} \\ & \text{Vậy cặp số nguyên tố duy nhất thoả mãn phần 1 là } (p,q) = (7,2). \\ & \\ & \text{2) Rút gọn biểu thức đã cho, ta được: } 10p^2 – 5pq = 5p(2p-q) \\ & \text{Giả sử } 5p(2p-q) = k^2 \text{ (với } k \in \mathbb{N}^* \text{).} \\ & \text{Suy ra } k^2 \text{ chia hết cho } 5 \text{, mà } 5 \text{ là số nguyên tố} \\ & \text{nên } k \text{ chia hết cho } 5 \text{. Đặt } k = 5x \text{ (} x \in \mathbb{N}^* \text{), ta có:} \\ & 5p(2p-q) = 25x^2 \Leftrightarrow p(2p-q) = 5x^2 \\ & \text{Do } p, q \text{ là số nguyên tố, ta xét hai trường hợp của } p\text{:} \\ & \text{Trường hợp 1: } p = 5 \\ & \text{Ta có: } 5(10-q) = 5x^2 \Rightarrow 10-q = x^2 \\ & \text{Do } q \text{ là số nguyên tố nên } q \in \{2; 3; 5; 7\}\text{,} \\ & \text{suy ra } 10-q \in \{8; 7; 5; 3\}. \\ & \text{Không có giá trị nào trong tập trên là số chính phương (loại).} \\ & \text{Trường hợp 2: } p \neq 5 \\ & \text{Từ } p(2p-q) = 5x^2 \text{, do } ƯCLN(p, 5) = 1 \text{ nên } x^2 \text{ chia hết cho } p. \\ & \text{Suy ra } x \text{ chia hết cho } p \text{. Đặt } x = py \text{ (} y \in \mathbb{N}^* \text{), ta có:} \\ & p(2p-q) = 5p^2y^2 \Leftrightarrow 2p-q = 5py^2 \\ & \text{Vì } y \ge 1 \text{ nên } 5py^2 \ge 5p \text{. Suy ra } 2p – q \ge 5p \Leftrightarrow q \le -3p. \\ & \text{Điều này vô lý vì } p, q \text{ đều là các số nguyên tố dương.} \\ & \text{Vậy không có cặp số nguyên tố } (p,q) \text{ nào thoả mãn phần 2.} \\ & \\ & \text{3) Giả sử ngược lại } p \neq q \text{. Vì vai trò của } p, q \text{ như nhau, giả sử } p > q. \\ & \text{Từ đề bài ta có } n = \frac{p^5-q^5}{p+q} \text{ là số tự nhiên,} \\ & \text{do đó } p^5-q^5 \text{ phải chia hết cho } p+q. \\ & \text{Theo hằng đẳng thức đáng nhớ mở rộng, ta luôn có:} \\ & p^5 + q^5 = (p+q)(p^4 – p^3q + p^2q^2 – pq^3 + q^4) \\ & \text{Nên } p^5 + q^5 \text{ luôn chia hết cho } p+q \text{ với mọi } p, q. \\ & \text{Ta biến đổi hiệu } p^5 – q^5 \text{ như sau:} \\ & p^5 – q^5 = (p^5 + q^5) – 2q^5 \\ & \text{Vì } p^5-q^5 \text{ và } p^5+q^5 \text{ đều chia hết cho } p+q\text{,} \\ & \text{nên } 2q^5 \text{ bắt buộc phải chia hết cho } p+q. \\ & \text{Do } p, q \text{ là hai số nguyên tố phân biệt nên } p \text{ không chia hết cho } q. \\ & \text{Suy ra } ƯCLN(p+q, q) = 1 \text{, dẫn đến } ƯCLN(p+q, q^5) = 1. \\ & \text{Vì vậy, để } 2q^5 \text{ chia hết cho } p+q \text{ thì } 2 \text{ phải chia hết cho } p+q. \\ & \text{Điều này đồng nghĩa với việc } p+q \le 2 \text{ (vì } p+q > 0\text{).} \\ & \text{Tuy nhiên, do } p, q \text{ là các số nguyên tố nên } p \ge 2 \text{ và } q \ge 2. \\ & \text{Suy ra } p+q \ge 4 \text{, mâu thuẫn trực tiếp với } p+q \le 2 \text{ ở trên.} \\ & \text{Vậy điều giả sử ban đầu là sai, ta bắt buộc phải có } p = q \text{ (điều phải chứng minh).} \end{align*}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment