Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán tìm cặp số nguyên khá thú vị. Chúng ta cùng nhau phân tích và tìm lời giải nhé.

Bài toán: Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn phương trình:

\(7(x+2y)^3(y−x)=8y−5x+1\)

Đây là một phương trình nhìn có vẻ phức tạp với các số mũ và tích. Khi gặp những bài toán như thế này mà yêu cầu tìm nghiệm nguyên, một phương pháp thường được sử dụng là đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình, sau đó tìm điều kiện nghiệm nguyên cho các ẩn phụ đó.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình.

Để đơn giản hóa vế trái, chúng ta đặt:

\(a = x+2y\)

\(b = y−x\)

Bây giờ, chúng ta cần biểu diễn \(x\) và \(y\) theo \(a\) và \(b\). Từ hai phương trình trên, ta có một hệ phương trình:

\(\begin{cases} x+2y = a \quad (1) \\ -x+y = b \quad (2) \end{cases}\)

Cộng hai phương trình \((1)\) và \((2)\) vế theo vế, ta được:

\((x+2y) + (-x+y) = a+b\)

\(3y = a+b\)

\(y = \frac{a+b}{3}\)

Thế \(y\) vào phương trình \((2)\):

\(-x + \frac{a+b}{3} = b\)

\(-x = b – \frac{a+b}{3}\)

\(-x = \frac{3b – (a+b)}{3}\)

\(-x = \frac{2b-a}{3}\)

\(x = \frac{a-2b}{3}\)

Để \(x\) và \(y\) là các số nguyên, điều kiện cần là \(a+b\) phải chia hết cho 3 và \(a-2b\) phải chia hết cho 3. Chúng ta sẽ ghi nhớ điều này để kiểm tra các giá trị của \(a, b\) tìm được.

Tiếp theo, chúng ta cần biểu diễn vế phải \(8y−5x+1\) theo \(a\) và \(b\):

\(8y−5x+1 = 8\left(\frac{a+b}{3}\right) – 5\left(\frac{a-2b}{3}\right) + 1\)

\(= \frac{8(a+b) – 5(a-2b)}{3} + 1\)

\(= \frac{8a+8b – 5a+10b}{3} + 1\)

\(= \frac{3a+18b}{3} + 1\)

\(= a+6b+1\)

Vậy, phương trình ban đầu trở thành:

\(7a^3b = a+6b+1\)

Bước 2: Giải phương trình với ẩn phụ \(a, b\).

Chúng ta cần tìm các cặp số nguyên \((a, b)\) thỏa mãn phương trình \(7a^3b = a+6b+1\).

Sắp xếp lại phương trình để rút \(b\) theo \(a\):

\(7a^3b – 6b = a+1\)

\(b(7a^3-6) = a+1\)

Từ đây, chúng ta có:

\(b = \frac{a+1}{7a^3-6}\)

Vì \(b\) là số nguyên, \(7a^3-6\) phải là ước của \(a+1\). Điều này có nghĩa là \(|7a^3-6| \le |a+1|\) (trừ trường hợp \(a+1=0\)).

Chúng ta sẽ xét các trường hợp của \(a\):

Trường hợp 1: \(a = 0\)

Thế \(a=0\) vào biểu thức của \(b\):

\(b = \frac{0+1}{7(0)^3-6} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}\)

Đây không phải là số nguyên, nên \(a=0\) không phải là nghiệm.

Trường hợp 2: \(a = 1\)

Thế \(a=1\) vào biểu thức của \(b\):

\(b = \frac{1+1}{7(1)^3-6} = \frac{2}{7-6} = \frac{2}{1} = 2\)

Đây là một số nguyên. Vậy ta có một cặp \((a,b) = (1,2)\).

Trường hợp 3: \(a = -1\)

Thế \(a=-1\) vào biểu thức của \(b\):

\(b = \frac{-1+1}{7(-1)^3-6} = \frac{0}{-7-6} = \frac{0}{-13} = 0\)

Đây là một số nguyên. Vậy ta có một cặp \((a,b) = (-1,0)\).

Trường hợp 4: \(|a| \ge 2\)

Để \(b\) là số nguyên và \(a+1 \ne 0\), ta phải có \(|7a^3-6| \le |a+1|\).

Xét \(a \ge 2\):

Khi \(a \ge 2\), \(a+1\) dương và \(7a^3-6\) cũng dương (ví dụ, với \(a=2\), \(7(2^3)-6 = 56-6=50\)).

Điều kiện \(|7a^3-6| \le |a+1|\) trở thành \(7a^3-6 \le a+1\).

\(7a^3 – a – 7 \le 0\)

Đặt \(f(a) = 7a^3 – a – 7\). Ta kiểm tra giá trị của \(f(a)\) với \(a=2\):

\(f(2) = 7(2^3) – 2 – 7 = 7(8) – 9 = 56 – 9 = 47\)

Vì \(f(2)=47 > 0\), và khi \(a\) tăng (với \(a \ge 2\)), \(7a^3\) tăng rất nhanh, nên \(f(a)\) sẽ luôn dương. Do đó, không có giá trị nguyên nào của \(a \ge 2\) thỏa mãn \(f(a) \le 0\).

Xét \(a \le -2\):

Khi \(a \le -2\), \(a+1\) âm và \(7a^3-6\) cũng âm (ví dụ, với \(a=-2\), \(7(-2)^3-6 = -56-6=-62\)).

Điều kiện \(|7a^3-6| \le |a+1|\) trở thành \(-(7a^3-6) \le -(a+1)\).

Nhân cả hai vế với \(-1\) và đổi chiều bất đẳng thức:

\(7a^3-6 \ge a+1\)

\(7a^3 – a – 7 \ge 0\)

Đặt \(f(a) = 7a^3 – a – 7\). Ta kiểm tra giá trị của \(f(a)\) với \(a=-2\):

\(f(-2) = 7(-2)^3 – (-2) – 7 = 7(-8) + 2 – 7 = -56 + 2 – 7 = -61\)

Vì \(f(-2) = -61 < 0\), và khi \(a\) giảm (trở nên âm hơn, ví dụ \(a=-3\)), \(7a^3\) sẽ trở nên âm lớn hơn rất nhiều, làm cho \(f(a)\) càng âm hơn. Do đó, không có giá trị nguyên nào của \(a \le -2\) thỏa mãn \(f(a) \ge 0\).

Như vậy, chỉ có hai cặp \((a,b)\) nguyên thỏa mãn phương trình là \((1,2)\) và \((-1,0)\).

Bước 3: Kiểm tra điều kiện để \(x, y\) là số nguyên và tìm các cặp \((x,y)\).

Chúng ta nhớ rằng \(x = \frac{a-2b}{3}\) và \(y = \frac{a+b}{3}\). Để \(x, y\) là số nguyên, tử số phải chia hết cho 3.

Xét cặp \((a,b) = (1,2)\):

\(a+b = 1+2 = 3\). (Chia hết cho 3)

\(a-2b = 1-2(2) = 1-4 = -3\). (Chia hết cho 3)

Điều kiện thỏa mãn, vậy ta tính \(x,y\):

\(y = \frac{3}{3} = 1\)

\(x = \frac{-3}{3} = -1\)

Vậy, \((x,y) = (-1,1)\) là một nghiệm của phương trình.

Kiểm tra lại nghiệm \((x,y) = (-1,1)\) với phương trình gốc:

\(7(x+2y)^3(y−x)=8y−5x+1\)

Vế trái: \(7(-1+2(1))^3(1-(-1)) = 7(-1+2)^3(1+1) = 7(1)^3(2) = 7 \cdot 1 \cdot 2 = 14\)

Vế phải: \(8(1)-5(-1)+1 = 8+5+1 = 14\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy \((x,y) = (-1,1)\) là một nghiệm đúng.

Xét cặp \((a,b) = (-1,0)\):

\(a+b = -1+0 = -1\). (Không chia hết cho 3)

Vì \(a+b\) không chia hết cho 3, nên \(y\) không phải là số nguyên. Do đó, cặp \((a,b) = (-1,0)\) không dẫn đến nghiệm nguyên \((x,y)\).

Kết luận:

Chỉ có một cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn phương trình đã cho là \((-1;1)\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luôn nhớ các bước quan trọng là đơn giản hóa phương trình bằng cách đặt ẩn phụ và kiểm tra điều kiện nghiệm nguyên cho tất cả các biến nhé!