Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động khá thú vị và thực tế. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi, đòi hỏi chúng ta phải phân tích kĩ các dữ kiện và lập hệ phương trình để giải quyết. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Bác Toàn đi xe đạp từ thị xã về làng, cô Ba cũng đi xe đạp, nhưng từ làng lên thị xã. Họ gặp nhau khi bác Toàn đã đi được \(1\) giờ rưỡi, còn cô Ba đã đi được \(2\) giờ. Một lần khác, hai người cũng đi từ hai địa điểm như thế nhưng họ khởi hành đồng thời; sau \(1\) giờ \(15\) phút họ còn cách nhau \(10,5km\). Tính vận tốc của mỗi người biết rằng làng cách thị xã \(38km\).

Trước hết, chúng ta sẽ tóm tắt các thông tin quan trọng và đặt các ẩn số cho bài toán.

Phân tích và Đặt ẩn:

Gọi vận tốc của bác Toàn là \(v_T\) (km/h). (Điều kiện: \(v_T > 0\))

Gọi vận tốc của cô Ba là \(v_B\) (km/h). (Điều kiện: \(v_B > 0\))

Tổng quãng đường từ thị xã về làng (hoặc ngược lại) là \(S = 38\) km.

Trường hợp 1: Họ gặp nhau lần đầu tiên

Bác Toàn đi được \(1\) giờ rưỡi, tức là \(t_T = 1,5\) giờ.

Cô Ba đi được \(2\) giờ, tức là \(t_B = 2\) giờ.

Khi họ gặp nhau, tổng quãng đường hai người đi được chính bằng quãng đường từ thị xã đến làng.

Chúng ta có thể tóm tắt các thông tin này vào bảng sau:

Từ bảng trên và giả thiết họ gặp nhau, ta có phương trình thứ nhất:

\(S_T + S_B = S\)

\(1,5 v_T + 2 v_B = 38\) (1)

Trường hợp 2: Họ khởi hành đồng thời và còn cách nhau \(10,5km\)

Lần này, hai người khởi hành cùng lúc. Sau \(1\) giờ \(15\) phút, họ còn cách nhau \(10,5km\).

Đầu tiên, chúng ta cần đổi đơn vị thời gian: \(1\) giờ \(15\) phút = \(1 + \frac{15}{60}\) giờ = \(1 + \frac{1}{4}\) giờ = \(1,25\) giờ.

Vì họ chưa gặp nhau (còn cách nhau \(10,5km\)), nên tổng quãng đường họ đã đi được cộng với khoảng cách còn lại giữa họ sẽ bằng tổng quãng đường từ thị xã đến làng.

Chúng ta lại tóm tắt cho trường hợp này:

Từ bảng trên, ta có phương trình thứ hai:

\(S’_T + S’_B = S_{đã đi}\)

\(1,25 v_T + 1,25 v_B = 38 – 10,5\)

\(1,25 v_T + 1,25 v_B = 27,5\)

Để đơn giản phương trình này, ta có thể chia cả hai vế cho \(1,25\):

\(\frac{1,25 v_T}{1,25} + \frac{1,25 v_B}{1,25} = \frac{27,5}{1,25}\)

\(v_T + v_B = 22\) (2)

Hệ phương trình và Giải:

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l} 1,5 v_T + 2 v_B = 38 \\ v_T + v_B = 22 \end{array} \right.\)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ở đây, cô sẽ dùng phương pháp thế.

Từ phương trình (2), ta rút \(v_T\) theo \(v_B\):

\(v_T = 22 – v_B\) (3)

Thay (3) vào phương trình (1), ta được:

\(1,5 (22 – v_B) + 2 v_B = 38\)

\(1,5 \times 22 – 1,5 v_B + 2 v_B = 38\)

\(33 + 0,5 v_B = 38\)

\(0,5 v_B = 38 – 33\)

\(0,5 v_B = 5\)

\(v_B = \frac{5}{0,5}\)

\(v_B = 10\) (thỏa mãn điều kiện \(v_B > 0\))

Bây giờ, thay giá trị \(v_B = 10\) vào phương trình (3) để tìm \(v_T\):

\(v_T = 22 – 10\)

\(v_T = 12\) (thỏa mãn điều kiện \(v_T > 0\))

Vậy, vận tốc của bác Toàn là \(12\) km/h và vận tốc của cô Ba là \(10\) km/h.

Kiểm tra lại (Tùy chọn nhưng rất nên làm):

Trường hợp 1: Bác Toàn đi \(1,5 \times 12 = 18\) km. Cô Ba đi \(2 \times 10 = 20\) km. Tổng quãng đường: \(18 + 20 = 38\) km. (Đúng)

Trường hợp 2: Sau \(1,25\) giờ, bác Toàn đi \(1,25 \times 12 = 15\) km. Cô Ba đi \(1,25 \times 10 = 12,5\) km. Tổng quãng đường hai người đã đi: \(15 + 12,5 = 27,5\) km. Khoảng cách còn lại: \(38 – 27,5 = 10,5\) km. (Đúng)

Kết luận:

Vậy, vận tốc của bác Toàn là \(12\) km/h và vận tốc của cô Ba là \(10\) km/h.

Các em thấy không, một bài toán phức tạp có thể được giải quyết một cách rõ ràng và mạch lạc nếu chúng ta biết cách phân tích từng trường hợp, đặt ẩn hợp lý và xây dựng hệ phương trình chính xác. Hãy cố gắng luyện tập thêm dạng bài này nhé!