Xin chào các em học sinh! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán về tập hợp rất thú vị. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ định nghĩa về tập con, giá trị tuyệt đối và các phép toán trên tập hợp số thực.

Đề bài:
Cho hai tập hợp \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid 1 \le \vert{}x\vert{} \le 2\}\) và \(B = (-\infty;m-2] \cup [m;+\infty)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(A \subset B\).

Chúng ta sẽ đi từng bước một nhé!

Bước 1: Phân tích và biểu diễn tập hợp A

Tập hợp \(A\) được định nghĩa là \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid 1 \le \vert{}x\vert{} \le 2\}\).

Điều kiện \(1 \le \vert{}x\vert{} \le 2\) có nghĩa là:

• \(\vert{}x\vert{} \ge 1\): Điều này tương đương với \(x \le -1\) hoặc \(x \ge 1\).
• \(\vert{}x\vert{} \le 2\): Điều này tương đương với \(-2 \le x \le 2\).

Chúng ta cần tìm các giá trị \(x\) thỏa mãn CẢ HAI điều kiện trên. Ta có thể biểu diễn trên trục số:

Điều kiện \(\vert{}x\vert{} \ge 1\) cho ta hai khoảng: \((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\)
Điều kiện \(\vert{}x\vert{} \le 2\) cho ta một khoảng: \([-2; 2]\)

Giao của hai điều kiện này sẽ là:

\[ ( ( -\infty; -1 ] \cup [ 1; +\infty ) ) \cap [ -2; 2 ] \]
\[ = ( (-\infty; -1 ] \cap [ -2; 2 ] ) \cup ( [ 1; +\infty ) \cap [ -2; 2 ] ) \]
\[ = [ -2; -1 ] \cup [ 1; 2 ] \]

Vậy, tập hợp \(A\) chính là \(A = [-2; -1] \cup [1; 2]\).

Bước 2: Phân tích tập hợp B

Tập hợp \(B\) được định nghĩa là \(B = (-\infty;m-2] \cup [m;+\infty)\).

Đây là hợp của hai khoảng. Để dễ hình dung, chúng ta thấy rằng tập hợp \(B\) là toàn bộ trục số thực, TRỪ ĐI khoảng mở \((m-2; m)\).
Nghĩa là, phần bù của \(B\) (ký hiệu là \(B^c\)) là \(B^c = (m-2; m)\).

Lưu ý rằng để \((m-2; m)\) là một khoảng hợp lệ, chúng ta phải có \(m-2 < m\), điều này luôn đúng vì \(-2 < 0\).

Bước 3: Điều kiện để \(A \subset B\)

Điều kiện \(A \subset B\) có nghĩa là mọi phần tử của \(A\) đều phải thuộc \(B\).
Điều này tương đương với việc tập hợp \(A\) không được chứa bất kỳ phần tử nào không thuộc \(B\). Nói cách khác, tập hợp \(A\) không được giao với phần bù của \(B\).

Tức là: \(A \cap B^c = \emptyset\)

Thay \(A = [-2; -1] \cup [1; 2]\) và \(B^c = (m-2; m)\) vào, ta có:

\[ ( [-2; -1] \cup [1; 2] ) \cap (m-2; m) = \emptyset \]

Điều này có nghĩa là khoảng \((m-2; m)\) không được giao với \([-2; -1]\) VÀ không được giao với \([1; 2]\).

Chúng ta sẽ xét các trường hợp cho vị trí của khoảng \((m-2; m)\) so với tập hợp \(A\).

Bước 4: Giải các trường hợp

Để \((m-2; m)\) không giao với \([-2; -1]\) và \([1; 2]\), ta có 3 khả năng xảy ra trên trục số:

Khả năng 1: Khoảng \((m-2; m)\) nằm hoàn toàn bên trái của cả hai khoảng của \(A\).

Điều này xảy ra khi \(m \le -2\).
Nếu \(m \le -2\), thì \(m-2 < m \le -2\). Khoảng \((m-2; m)\) sẽ nằm ở bên trái của \([-2; -1]\) và do đó cũng nằm bên trái của \([1; 2]\). Khi đó, \(A \cap (m-2;m) = \emptyset\).

Ví dụ: Nếu \(m = -3\), thì \((m-2; m) = (-5; -3)\). Khoảng này không giao với \([-2; -1]\) và \([1; 2]\). Điều kiện được thỏa mãn.

Khả năng 2: Khoảng \((m-2; m)\) nằm hoàn toàn giữa hai khoảng của \(A\).

Điều này có nghĩa là \((m-2; m)\) phải nằm giữa \([-2; -1]\) và \([1; 2]\).
Để không giao với \([-2; -1]\), ta cần \(m-2 \ge -1\), tức là \(m \ge 1\).
Để không giao với \([1; 2]\), ta cần \(m \le 1\).
Kết hợp hai điều kiện này, ta có \(m \ge 1\) và \(m \le 1\), suy ra \(m = 1\).

Nếu \(m = 1\), thì \((m-2; m) = (1-2; 1) = (-1; 1)\).
Khoảng \((-1; 1)\) này nằm chính xác giữa \([-2; -1]\) và \([1; 2]\). Nó không giao với bất kỳ phần nào của \(A\).
Khi đó, \(A \cap (m-2;m) = \emptyset\). Điều kiện được thỏa mãn.

Khả năng 3: Khoảng \((m-2; m)\) nằm hoàn toàn bên phải của cả hai khoảng của \(A\).

Điều này xảy ra khi \(m-2 \ge 2\).
Từ \(m-2 \ge 2\), ta suy ra \(m \ge 4\).
Nếu \(m \ge 4\), thì \(m-2 \ge 2\). Khoảng \((m-2; m)\) sẽ nằm ở bên phải của \([1; 2]\) và do đó cũng nằm bên phải của \([-2; -1]\). Khi đó, \(A \cap (m-2;m) = \emptyset\).

Ví dụ: Nếu \(m = 5\), thì \((m-2; m) = (3; 5)\). Khoảng này không giao với \([-2; -1]\) và \([1; 2]\). Điều kiện được thỏa mãn.

Bước 5: Tổng hợp các giá trị của \(m\)

Tổng hợp các khả năng trên, ta có các giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiện \(A \subset B\) là:

\(m \le -2\) hoặc \(m = 1\) hoặc \(m \ge 4\).

Kết luận

Vậy, tất cả các giá trị của \(m\) để \(A \subset B\) là \(m \in (-\infty; -2] \cup \{1\} \cup [4; +\infty)\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn cách xử lý các bài toán về tập hợp có chứa tham số và giá trị tuyệt đối. Hãy luôn vẽ trục số để dễ hình dung và kiểm tra lại kết quả nhé!