Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, đó là hằng đẳng thức đáng nhớ. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh và áp dụng một trong những hằng đẳng thức cơ bản nhất:
(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

Phần a: Chứng minh đẳng thức

Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức. Chúng ta sẽ khai triển vế trái của đẳng thức và xem nó có bằng vế phải hay không.

Vế trái: (x+a)(x+b)

Theo quy tắc nhân đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai:

(x+a)(x+b) = x (x+b) + a (x+b)

Tiếp tục áp dụng quy tắc phân phối:

= (x x + x b) + (a x + a b)

= x^2 + xb + ax + ab

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử giống nhau lại. Ở đây, ta có hai hạng tử chứa x là xb và ax. Ta có thể viết lại là bx và ax.

= x^2 + ax + bx + ab

Chúng ta có thể đặt x làm nhân tử chung cho hai hạng tử ax và bx:

= x^2 + (a+b)x + ab

Vế phải: x^2 + (a+b)x + ab

Như vậy, sau khi khai triển vế trái, ta thu được chính là vế phải của đẳng thức.

Kết luận: Vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức
(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

Phần b: Áp dụng viết các tích sau thành tổng

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức vừa chứng minh để viết các tích sau thành tổng.

1. (x+2)(x+3)

Ở đây, ta có a = 2 và b = 3.

Áp dụng công thức
(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab,

ta có:

(x+2)(x+3) = x^2 + (2+3)x + (2*3)

= x^2 + 5x + 6

Vậy,
(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6

2. (x-2)(x-3)

Ở đây, chúng ta cần chú ý một chút. Ta có thể coi -2 là ‘a’ và -3 là ‘b’.

Vậy, a = -2 và b = -3.

Áp dụng công thức
(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab,

ta có:

(x-2)(x-3) = x^2 + (-2 + (-3))x + (-2 * -3)

= x^2 + (-5)x + 6

= x^2 – 5x + 6

Vậy,
(x-2)(x-3) = x^2 – 5x + 6

3. (x+2)(x-3)

Tương tự như trường hợp trên, ta coi a = 2 và b = -3.

Áp dụng công thức
(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab,

ta có:

(x+2)(x-3) = x^2 + (2 + (-3))x + (2 * -3)

= x^2 + (-1)x + (-6)

= x^2 – x – 6

Vậy,
(x+2)(x-3) = x^2 – x – 6

Các em thấy đó, việc nắm vững công thức này giúp chúng ta tính toán nhanh chóng và chính xác hơn rất nhiều. Hãy ôn tập kỹ và làm thêm nhiều bài tập áp dụng nhé!