Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô sẽ cùng các em khám phá một dạng bài tập rất thú vị trong chương trình Đại số lớp 7 của chúng ta: đó là chứng tỏ giá trị của một biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến. Khi một biểu thức không phụ thuộc vào biến, điều đó có nghĩa là dù biến số (ví dụ như \(x\)) có giá trị bằng bao nhiêu đi chăng nữa, thì kết quả cuối cùng của biểu thức đó vẫn là một hằng số cố định. Để làm được điều này, chúng ta cần biến đổi và rút gọn biểu thức về dạng đơn giản nhất nhé!

Chúng ta cùng đi vào từng bài tập cụ thể:

Bài a) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức \(x(5x-3)-x^2(x-1)+(x^2-6x)-10+3x\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Để giải bài này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Khai triển (mở ngoặc) và phá ngoặc các tích.

Chúng ta có biểu thức ban đầu là: \(x(5x-3)-x^2(x-1)+(x^2-6x)-10+3x\)

Thực hiện phép nhân \(x(5x-3)\):

\(x(5x-3) = x \cdot 5x – x \cdot 3 = 5x^2 – 3x\)

Thực hiện phép nhân \(-x^2(x-1)\). Chú ý dấu trừ phía trước nhé:

\(-x^2(x-1) = -x^2 \cdot x – x^2 \cdot (-1) = -x^3 + x^2\)

Phá ngoặc \((x^2-6x)\): Vì phía trước ngoặc là dấu cộng (hoặc không có dấu gì, hiểu là dấu cộng), nên khi phá ngoặc, các dấu bên trong vẫn giữ nguyên:

\(+(x^2-6x) = x^2 – 6x\)

Bây giờ, chúng ta viết lại toàn bộ biểu thức sau khi đã khai triển:

\(5x^2 – 3x – x^3 + x^2 + x^2 – 6x – 10 + 3x\)

Bước 2: Gom các hạng tử đồng dạng.

Các em nhớ lại, hạng tử đồng dạng là các hạng tử có cùng phần biến (ví dụ: \(x^2\) và \(5x^2\), hoặc \(3x\) và \(-6x\)). Chúng ta sẽ gom chúng lại với nhau để dễ dàng cộng trừ:

Hạng tử bậc ba (có \(x^3\)): \(-x^3\)

Hạng tử bậc hai (có \(x^2\)): \(5x^2 + x^2 + x^2\)

Hạng tử bậc nhất (có \(x\)): \(-3x – 6x + 3x\)

Hạng tử tự do (hằng số): \(-10\)

Bước 3: Cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Với hạng tử bậc ba: \(-x^3\)

Với hạng tử bậc hai: \((5+1+1)x^2 = 7x^2\)

Với hạng tử bậc nhất: \((-3-6+3)x = (-9+3)x = -6x\)

Với hạng tử tự do: \(-10\)

Vậy, biểu thức sau khi rút gọn là:

\(-x^3 + 7x^2 – 6x – 10\)

Kết luận cho bài a):

Sau khi rút gọn, chúng ta thấy biểu thức vẫn còn chứa biến \(x\) (có các hạng tử \(-x^3\), \(7x^2\), \(-6x\)). Điều này có nghĩa là giá trị của biểu thức này phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\). Nếu đề bài yêu cầu “chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến”, thì có lẽ đã có một chút nhầm lẫn trong việc đặt đề bài này. Cô đã giải bài theo đúng biểu thức mà các em đưa ra nhé!

Bài b) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức \((x^2+x+1)-x^2(x+1)-x+5\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Chúng ta cũng làm tương tự các bước như bài a):

Bước 1: Khai triển và phá ngoặc các tích.

Biểu thức ban đầu là: \((x^2+x+1)-x^2(x+1)-x+5\)

Phá ngoặc \((x^2+x+1)\): Phía trước không có dấu gì đặc biệt, nên các dấu bên trong giữ nguyên:

\(x^2+x+1\)

Thực hiện phép nhân \(-x^2(x+1)\). Cẩn thận với dấu trừ phía trước nhé:

\(-x^2(x+1) = -x^2 \cdot x – x^2 \cdot 1 = -x^3 – x^2\)

Bây giờ, chúng ta viết lại toàn bộ biểu thức sau khi đã khai triển:

\(x^2+x+1 – x^3 – x^2 – x + 5\)

Bước 2: Gom các hạng tử đồng dạng.

Hạng tử bậc ba (có \(x^3\)): \(-x^3\)

Hạng tử bậc hai (có \(x^2\)): \(x^2 – x^2\)

Hạng tử bậc nhất (có \(x\)): \(x – x\)

Hạng tử tự do (hằng số): \(1 + 5\)

Bước 3: Cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Với hạng tử bậc ba: \(-x^3\)

Với hạng tử bậc hai: \((1-1)x^2 = 0x^2 = 0\)

Với hạng tử bậc nhất: \((1-1)x = 0x = 0\)

Với hạng tử tự do: \(1+5 = 6\)

Vậy, biểu thức sau khi rút gọn là:

\(-x^3 + 0 + 0 + 6 = -x^3 + 6\)

Kết luận cho bài b):

Tương tự như bài a), sau khi rút gọn, biểu thức này vẫn còn chứa biến \(x\) (hạng tử \(-x^3\)). Điều này có nghĩa là giá trị của biểu thức này phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\). Để biểu thức không phụ thuộc vào biến, tất cả các hạng tử có chứa \(x\) phải triệt tiêu lẫn nhau, để lại một hằng số. Trong trường hợp này, \(-x^3\) vẫn còn, nên giá trị của biểu thức sẽ thay đổi khi \(x\) thay đổi.

Lời khuyên từ cô giáo:

Khi gặp dạng bài này, điều quan trọng nhất là các em phải thực hiện phép tính một cách cẩn thận, đặc biệt là khi khai triển các tích và phá dấu ngoặc (nhất là ngoặc có dấu trừ phía trước). Sau khi rút gọn, nếu kết quả cuối cùng là một số cụ thể (ví dụ: 5, -12, 0…) mà không còn chứa biến, thì khi đó chúng ta mới có thể kết luận rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến nhé! Nếu vẫn còn biến, thì bài toán không thỏa mãn yêu cầu “chứng tỏ không phụ thuộc”.

Hy vọng qua hai bài tập này, các em đã nắm vững hơn cách biến đổi và rút gọn biểu thức đại số. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại cô nhé!