Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một bài toán rất thú vị về số hữu tỉ. Bài toán này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về số hữu tỉ và cách chứng minh một số không phải là số hữu tỉ nhé.

Chúng ta hãy cùng giải quyết từng phần một.

Bài toán: Chứng minh rằng không có số hữu tỉ nào thỏa mãn:

a. \(X^2 – 3X = 1\)

b. \(X + \frac{1}{X} = 2\) với \(X \neq 1\) và \(X \neq -1\)

Trước khi bắt đầu, thầy muốn các em nhớ lại định nghĩa của số hữu tỉ.

Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a\) và \(b\) là các số nguyên, và \(b\) phải khác 0.

---

Giải bài toán:

a. Chứng minh không có số hữu tỉ nào thỏa mãn \(X^2 – 3X = 1\).

Để giải quyết phương trình này, chúng ta sẽ biến đổi nó về dạng quen thuộc của phương trình bậc hai:

\(X^2 – 3X = 1\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế, ta được:

\(X^2 – 3X – 1 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai có dạng \(aX^2 + bX + c = 0\). Trong trường hợp này, chúng ta có:

\(a = 1\)

\(b = -3\)

\(c = -1\)

Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm tổng quát. Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ xét điều kiện để nghiệm là số hữu tỉ.

Một số hữu tỉ chỉ có thể là nghiệm của phương trình bậc hai nếu biểu thức bên trong căn bậc hai (gọi là Delta hay biệt thức) là một số chính phương (tức là bình phương của một số nguyên).

Biệt thức \(\Delta\) được tính bằng công thức: \(\Delta = b^2 – 4ac\)

Hãy cùng tính biệt thức cho phương trình này nhé:

\(\Delta = (-3)^2 – 4(1)(-1)\)

\(\Delta = 9 – (-4)\)

\(\Delta = 9 + 4\)

\(\Delta = 13\)

Bây giờ chúng ta có \(\Delta = 13\). Để nghiệm của phương trình là số hữu tỉ, \(\Delta\) phải là một số chính phương. Một số chính phương là kết quả của việc bình phương một số nguyên (ví dụ: \(1^2 = 1\), \(2^2 = 4\), \(3^2 = 9\), \(4^2 = 16\), …).

Chúng ta thấy rằng 13 không phải là một số chính phương. Nó nằm giữa \(3^2 = 9\) và \(4^2 = 16\). Do đó, căn bậc hai của 13, tức là \(\sqrt{13}\), là một số vô tỉ.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai là: \(X = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Thay các giá trị vào, ta có:

\(X = \frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2(1)}\)

\(X = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)

Như chúng ta đã phân tích, vì \(\sqrt{13}\) là một số vô tỉ, nên cả hai nghiệm \(X_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\) và \(X_2 = \frac{3 – \sqrt{13}}{2}\) đều là các số vô tỉ.

Kết luận cho phần a: Vậy, không có số hữu tỉ nào thỏa mãn phương trình \(X^2 – 3X = 1\).

---

b. Chứng minh không có số hữu tỉ nào thỏa mãn \(X + \frac{1}{X} = 2\) với \(X \neq 1\) và \(X \neq -1\).

Đây là một bài toán thú vị với điều kiện đi kèm. Đầu tiên, chúng ta hãy giải phương trình đã cho:

\(X + \frac{1}{X} = 2\)

Để giải phương trình này, chúng ta cần loại bỏ mẫu số. Điều kiện để phân số \(\frac{1}{X}\) có nghĩa là \(X\) phải khác 0. Trong bài toán này, điều kiện \(X \neq 1\) và \(X \neq -1\) đã ngầm định \(X \neq 0\).

Nhân cả hai vế của phương trình với \(X\) (vì \(X \neq 0\)), ta được:

\(X \cdot X + X \cdot \frac{1}{X} = 2 \cdot X\)

\(X^2 + 1 = 2X\)

Bây giờ, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai:

\(X^2 – 2X + 1 = 0\)

Các em có nhận ra dạng đặc biệt của phương trình này không? Đây chính là hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học: \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Trong trường hợp này, \(a = X\) và \(b = 1\). Vậy phương trình trở thành:

\((X – 1)^2 = 0\)

Để \((X – 1)^2 = 0\), thì biểu thức bên trong dấu bình phương phải bằng 0:

\(X – 1 = 0\)

\(X = 1\)

Vậy, nghiệm duy nhất của phương trình \(X + \frac{1}{X} = 2\) là \(X = 1\).

Bây giờ, hãy xem lại điều kiện mà đề bài đưa ra: “với \(X \neq 1\) và \(X \neq -1\)”.

Chúng ta vừa tìm ra nghiệm của phương trình là \(X = 1\). Tuy nhiên, điều kiện của bài toán lại yêu cầu \(X\) phải khác 1.

Rõ ràng, nghiệm mà chúng ta tìm được (\(X = 1\)) mâu thuẫn với điều kiện của đề bài (\(X \neq 1\)).

Kết luận cho phần b: Vì nghiệm duy nhất của phương trình \(X + \frac{1}{X} = 2\) là \(X = 1\), nhưng đề bài lại cho điều kiện \(X \neq 1\), nên không có giá trị số hữu tỉ nào thỏa mãn cả phương trình và điều kiện đã cho.

---

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách chứng minh một số không phải là số hữu tỉ, cũng như cách xử lý các điều kiện của bài toán. Hãy luôn nhớ rằng việc hiểu rõ định nghĩa và công thức là chìa khóa để giải quyết các bài toán Toán học nhé!

Chúc các em học tốt!