`cos (pi/15) . cos (2pi/15) . cos (3pi/15) . cos (4pi/15) . cos(5pi/15) . cos (6…
Chứng minh
Đề bài:
Chứng minh rằng:
\(cos (\pi/15) \cdot cos (2\pi/15) \cdot cos (3\pi/15) \cdot cos (4\pi/15) \cdot cos(5\pi/15) \cdot cos (6\pi/15) \cdot cos (7\pi/15) = 1/128\)
Hướng dẫn giải:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi của hàm sin và tính chất đối xứng của hàm sin.
Bước 1: Đặt biểu thức cần chứng minh là P.
\(P = cos (\pi/15) \cdot cos (2\pi/15) \cdot cos (3\pi/15) \cdot cos (4\pi/15) \cdot cos(5\pi/15) \cdot cos (6\pi/15) \cdot cos (7\pi/15)\)
Bước 2: Áp dụng công thức \(cos A = \frac{\sin 2A}{2 \sin A}\) cho từng số hạng cosin trong biểu thức P.
Chúng ta sẽ biến đổi mỗi số hạng cosin thành một tỷ số của các hàm sin:
- \(cos (\pi/15) = \frac{\sin (2\pi/15)}{2 \sin (\pi/15)}\)
- \(cos (2\pi/15) = \frac{\sin (4\pi/15)}{2 \sin (2\pi/15)}\)
- \(cos (3\pi/15) = \frac{\sin (6\pi/15)}{2 \sin (3\pi/15)}\)
- \(cos (4\pi/15) = \frac{\sin (8\pi/15)}{2 \sin (4\pi/15)}\)
- \(cos (5\pi/15) = \frac{\sin (10\pi/15)}{2 \sin (5\pi/15)}\)
- \(cos (6\pi/15) = \frac{\sin (12\pi/15)}{2 \sin (6\pi/15)}\)
- \(cos (7\pi/15) = \frac{\sin (14\pi/15)}{2 \sin (7\pi/15)}\)
Bước 3: Thay các biểu thức trên vào P và rút gọn.
Bây giờ chúng ta thay các biểu thức đã biến đổi vào P:
\(P = \left( \frac{\sin (2\pi/15)}{2 \sin (\pi/15)} \right) \cdot \left( \frac{\sin (4\pi/15)}{2 \sin (2\pi/15)} \right) \cdot \left( \frac{\sin (6\pi/15)}{2 \sin (3\pi/15)} \right) \cdot \left( \frac{\sin (8\pi/15)}{2 \sin (4\pi/15)} \right) \cdot \left( \frac{\sin (10\pi/15)}{2 \sin (5\pi/15)} \right) \cdot \left( \frac{\sin (12\pi/15)}{2 \sin (6\pi/15)} \right) \cdot \left( \frac{\sin (14\pi/15)}{2 \sin (7\pi/15)} \right)\)
Chúng ta có 7 số hạng, mỗi số hạng đều có mẫu số là 2. Vậy, ta có hệ số \(1/2^7\). Các số hạng sin ở tử số và mẫu số sẽ triệt tiêu lẫn nhau, cụ thể là \(\sin(2\pi/15)\), \(\sin(4\pi/15)\), \(\sin(6\pi/15)\).
\(P = \frac{1}{2^7} \cdot \frac{\sin (2\pi/15) \cdot \sin (4\pi/15) \cdot \sin (6\pi/15) \cdot \sin (8\pi/15) \cdot \sin (10\pi/15) \cdot \sin (12\pi/15) \cdot \sin (14\pi/15)}{\sin (\pi/15) \cdot \sin (2\pi/15) \cdot \sin (3\pi/15) \cdot \sin (4\pi/15) \cdot \sin (5\pi/15) \cdot \sin (6\pi/15) \cdot \sin (7\pi/15)}\)
Sau khi rút gọn, biểu thức P trở thành:
\(P = \frac{1}{2^7} \cdot \frac{\sin (8\pi/15) \cdot \sin (10\pi/15) \cdot \sin (12\pi/15) \cdot \sin (14\pi/15)}{\sin (\pi/15) \cdot \sin (3\pi/15) \cdot \sin (5\pi/15) \cdot \sin (7\pi/15)}\)
Bước 4: Sử dụng tính chất đối xứng của hàm sin: \(\sin(\pi – x) = \sin x\).
Chúng ta nhận thấy các góc trong tử số \((8\pi/15, 10\pi/15, 12\pi/15, 14\pi/15)\) đều lớn hơn \(\pi/2\). Chúng ta sẽ biến đổi chúng về các góc nhỏ hơn:
- \(\sin (8\pi/15) = \sin (\pi – 7\pi/15) = \sin (7\pi/15)\)
- \(\sin (10\pi/15) = \sin (\pi – 5\pi/15) = \sin (5\pi/15)\)
- \(\sin (12\pi/15) = \sin (\pi – 3\pi/15) = \sin (3\pi/15)\)
- \(\sin (14\pi/15) = \sin (\pi – \pi/15) = \sin (\pi/15)\)
Bước 5: Thay thế các giá trị đã biến đổi vào biểu thức P và rút gọn lần cuối.
Thay các kết quả từ Bước 4 vào biểu thức P:
\(P = \frac{1}{2^7} \cdot \frac{\sin (7\pi/15) \cdot \sin (5\pi/15) \cdot \sin (3\pi/15) \cdot \sin (\pi/15)}{\sin (\pi/15) \cdot \sin (3\pi/15) \cdot \sin (5\pi/15) \cdot \sin (7\pi/15)}\)
Tất cả các số hạng sin ở tử số và mẫu số đều giống nhau và sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
\(P = \frac{1}{2^7} \cdot 1\)
\(P = \frac{1}{128}\)
Vậy, chúng ta đã chứng minh được đẳng thức:
\(cos (\pi/15) \cdot cos (2\pi/15) \cdot cos (3\pi/15) \cdot cos (4\pi/15) \cdot cos(5\pi/15) \cdot cos (6\pi/15) \cdot cos (7\pi/15) = 1/128\)
Kết luận:
Qua bài toán này, các em thấy rằng việc áp dụng linh hoạt các công thức lượng giác cơ bản như công thức nhân đôi \((2 \sin A \cos A = \sin 2A)\) và tính chất đối xứng của các hàm số \(( \sin(\pi – x) = \sin x)\) có thể giúp chúng ta giải quyết những bài toán tưởng chừng phức tạp một cách gọn gàng và hiệu quả. Hãy tiếp tục luyện tập để nắm vững hơn các kỹ năng này nhé!
Ta có:
\(A=cos (pi/15) . cos(2 \ pi/15) . cos (3 \ pi/15) . cos (4 \ pi/15) . cos (5 \ pi/15) . cos (6 \ pi/15) . cos (7 \ pi/15)\)
\(A=1/2.[cos(pi/5) . cos((2pi)/5)] . [cos(pi/15) . cos ((2pi)/15) . cos ((4pi)/15) . cos((7pi)/15)]\)
Đặt \(A_2=cos(pi/15) . cos((2pi)/15) . cos((4pi)/15) . cos((7pi)/15)\)
\(A_2=- cos(pi/15) . cos((2pi)/15) . cos((4pi)/15) . cos((8pi)/15)\)
\(sin(pi/15) . A_2=-1/2 . sin ((2pi)/15) . cos((2pi)/15) . cos((4pi)/15) . cos((8pi)/15)\)
\(… = -1/4 . sin ((4pi)/15) . cos ((4pi)/15) . cos ((8pi)/15)\)
\(… = -1/8 . sin ((8pi)/15) . cos ((8pi)/15) =-1/16 sin ((16pi)/15)\)
\(sin (pi/15) . A_2=1/16 sin (pi/15)=>A_2=1/16\)
Đặt \(A_1= cos(pi/5) . cos ((2pi)/5)\)
\(sin (pi/5) . A_1=1/2sin((2pi)/5) . cos ((2pi)/5) =1/4sin((4pi)/5)\)
\(sin(pi/5) . A_1=1/4 sin (pi/5)=>A_1=1/4\)
\(=> A=1/2 . A_1 . A_2=1/2 . 1/4 . 1/16=1/128\) (đpcm)
\(\color{#FF2E8A}{♡^♡}
\color{#FF3B94}{𝕻}
\color{#FF4FA3}{𝖍}
\color{#FF61AE}{𝖚}
\color{#FF73B6}{𝖔}
\color{#FF85BF}{𝖓}
\color{#FF97C8}{𝖌}
\color{#FFA9D1}{𝖌} \
\color{#FFB9D9}{𝕷}
\color{#FFC9E1}{𝖎}
\color{#FFD6E8}{𝖓}
\color{#FFE3EF}{𝖍}
\color{#FFF0F6}{𝖍}
\color{#FF2E8A}{♡^♡}\)
Ta có:
\(P=\cos\left(\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(2\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(3\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(4\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(5\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(6\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(7\dfrac{\pi}{15}\right)\)
\(\Leftrightarrow = \cos\left(\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(2\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right) . \cos\left(4\dfrac{\pi}{15}\right) . \dfrac{1}{2} . \cos\left(2\dfrac{\pi}{5}\right) . \left[-\cos\left(8\dfrac{\pi}{15}\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow = -\dfrac{1}{2} . \left[\cos\left(\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(2\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(4\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(8\dfrac{\pi}{15}\right)\right] . \left[\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right) . \cos\left(2\dfrac{\pi}{5}\right)\right]\)
Đặt \(M = \cos\left(\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(2\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(4\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(8\dfrac{\pi}{15}\right)\)
\(\Rightarrow M . \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(2\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(4\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(8\dfrac{\pi}{15}\right)\)
\(\Leftrightarrow M . \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\right) = \dfrac{1}{2} \sin\left(2\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(2\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(4\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(8\dfrac{\pi}{15}\right)\)
\(\Leftrightarrow M . \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\right) = \dfrac{1}{4} \sin\left(4\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(4\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(8\dfrac{\pi}{15}\right)\)
\(\Leftrightarrow M . \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\right) = \dfrac{1}{8} \sin\left(8\dfrac{\pi}{15}\right) . \cos\left(8\dfrac{\pi}{15}\right)\)
\(\Leftrightarrow M . \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\right) = \dfrac{1}{16} \sin\left(16\dfrac{\pi}{15}\right)\)
\(\Leftrightarrow M . \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\right) = \dfrac{1}{16} \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{15}\right)\)
\(\Leftrightarrow M . \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\right) = -\dfrac{1}{16} \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\right)\)
\(\Rightarrow M = -\dfrac{1}{16}\)
Đặt \(N = \cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right) . \cos\left(2\dfrac{\pi}{5}\right)\)
\(\Rightarrow N . \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) . \cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right) . \cos\left(2\dfrac{\pi}{5}\right)\)
\(\Leftrightarrow N . \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{2} \sin\left(2\dfrac{\pi}{5}\right) . \cos\left(2\dfrac{\pi}{5}\right)\)
\(\Leftrightarrow N . \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{4} \sin\left(4\dfrac{\pi}{5}\right)\)
\(\Leftrightarrow N . \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{4} \sin\left(\pi – \dfrac{\pi}{5}\right)\)
\(\Leftrightarrow N . \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{4} \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\)
\(\Rightarrow N = \dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P= -\dfrac{1}{2} . M . N = -\dfrac{1}{2} . \left(-\dfrac{1}{16}\right) . \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{128}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment