Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về biểu thức lượng giác. Đây là một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán 9 của chúng ta, yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.

Đề bài:

Rút gọn biểu thức:

\( A= \cos^{2}a – \tan60^\circ + \cot45^\circ – 2\sin30^\circ + \cos^{2}a \cdot \tan^{2}a \)

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán này theo từng bước chi tiết:

Bước 1: Xác định giá trị các hàm lượng giác của các góc đặc biệt.

Trước hết, chúng ta cần nhớ lại giá trị của các hàm lượng giác đối với các góc đặc biệt như \( 30^\circ \), \( 45^\circ \), \( 60^\circ \). Đây là những giá trị mà chúng ta cần thuộc lòng để giải các bài toán liên quan.

• Giá trị của \( \tan60^\circ \):
  \( \tan60^\circ = \sqrt{3} \)
• Giá trị của \( \cot45^\circ \):
  \( \cot45^\circ = 1 \)
• Giá trị của \( \sin30^\circ \):
  \( \sin30^\circ = \frac{1}{2} \)

Bước 2: Thay thế các giá trị đã biết vào biểu thức \( A \) và rút gọn các số hạng.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị vừa tìm được vào biểu thức ban đầu:

\( A= \cos^{2}a – (\sqrt{3}) + (1) – 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + \cos^{2}a \cdot \tan^{2}a \)

Thực hiện các phép tính đơn giản với các số hạng đã biết:

\( A= \cos^{2}a – \sqrt{3} + 1 – 1 + \cos^{2}a \cdot \tan^{2}a \)

Quan sát các số hạng \( +1 \) và \( -1 \), chúng ta thấy chúng triệt tiêu lẫn nhau:

\( A= \cos^{2}a – \sqrt{3} + \cos^{2}a \cdot \tan^{2}a \)

Bước 3: Rút gọn các số hạng chứa biến \( a \) bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.

Chúng ta để ý đến số hạng \( \cos^{2}a \cdot \tan^{2}a \). Đây là lúc chúng ta cần áp dụng các hằng đẳng thức lượng giác.

Chúng ta biết rằng định nghĩa của hàm tang là \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \).

Do đó, bình phương của hàm tang sẽ là: \( \tan^{2}a = \left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)^{2} = \frac{\sin^{2}a}{\cos^{2}a} \).

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức này vào số hạng \( \cos^{2}a \cdot \tan^{2}a \):

\( \cos^{2}a \cdot \tan^{2}a = \cos^{2}a \cdot \frac{\sin^{2}a}{\cos^{2}a} \)

Với điều kiện \( \cos a \neq 0 \) (để \( \tan a \) xác định), chúng ta có thể rút gọn \( \cos^{2}a \) ở tử và mẫu:

\( \cos^{2}a \cdot \frac{\sin^{2}a}{\cos^{2}a} = \sin^{2}a \)

Bước 4: Tổng hợp lại biểu thức và đưa ra kết quả cuối cùng.

Chúng ta đã rút gọn được \( \cos^{2}a \cdot \tan^{2}a \) thành \( \sin^{2}a \). Bây giờ, chúng ta thay kết quả này trở lại vào biểu thức \( A \) đã được rút gọn ở Bước 2:

\( A= \cos^{2}a – \sqrt{3} + \sin^{2}a \)

Sắp xếp lại các số hạng để làm nổi bật một hằng đẳng thức lượng giác rất quan trọng:

\( A= (\cos^{2}a + \sin^{2}a) – \sqrt{3} \)

Chúng ta biết rằng hằng đẳng thức cơ bản \( \sin^{2}a + \cos^{2}a = 1 \). Áp dụng hằng đẳng thức này:

\( A= 1 – \sqrt{3} \)

Vậy, giá trị của biểu thức \( A \) là:

\( A= 1 – \sqrt{3} \)

Như vậy, sau khi thực hiện các bước tính toán và rút gọn cẩn thận, chúng ta đã tìm được giá trị cuối cùng của biểu thức \( A \) là một hằng số. Điều này cho thấy rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào góc \( a \), miễn là \( \cos a \neq 0 \).

Chúc các em học tốt và luôn tự tin khi giải các bài toán lượng giác nhé!