Đề bài:

Cho hai đa thức:

\(P(x) = 3x^3 + 5x – 12 – x^2 + x^3 – 6x^2 – 2x\)

\(Q(x) = -2x^3 + x – 3x^2 + 12 + 8x^2 – 10x – 2x^3\)

Yêu cầu:

a) Rút gọn và sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo lũy thừa bậc tăng dần.

b) Tính H(x) = P(x) + Q(x); G(x) = P(x) – Q(x).

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của H(x) và G(x).

d) Tính H(-1); H(2); G(-1/2); G(0).

e) Tìm nghiệm của đa thức H(x).

Gợi ý:

Để giải bài toán này, các em cần nhớ lại các kiến thức cơ bản về đa thức:

• Thu gọn đa thức: Gom các hạng tử đồng dạng (các hạng tử có cùng bậc và cùng biến).
• Sắp xếp đa thức: Sắp xếp các hạng tử theo thứ tự lũy thừa của biến, có thể là bậc tăng dần hoặc bậc giảm dần.
• Cộng, trừ đa thức: Cộng hoặc trừ các hệ số của các hạng tử đồng dạng.
• Hệ số cao nhất: Là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức.
• Hệ số tự do: Là hạng tử không chứa biến (hệ số của \(x^0\)).
• Tìm nghiệm của đa thức: Cho đa thức bằng 0 và giải phương trình để tìm giá trị của biến.

Giải thích và Giải chi tiết:

a) Rút gọn và sắp xếp theo lũy thừa bậc tăng dần:

Bước 1: Rút gọn đa thức P(x)

Ta nhóm các hạng tử đồng dạng trong P(x):

\(P(x) = (3x^3 + x^3) + (-x^2 – 6x^2) + (5x – 2x) – 12\)

\(P(x) = 4x^3 – 7x^2 + 3x – 12\)

Bước 2: Sắp xếp P(x) theo lũy thừa bậc tăng dần

Để sắp xếp theo bậc tăng dần, ta bắt đầu từ hạng tử có bậc nhỏ nhất. Trong P(x), hạng tử có bậc thấp nhất là hạng tử tự do (-12).

\(P(x) = -12 + 3x – 7x^2 + 4x^3\)

Bước 3: Rút gọn đa thức Q(x)

Ta nhóm các hạng tử đồng dạng trong Q(x):

\(Q(x) = (-2x^3 – 2x^3) + (-3x^2 + 8x^2) + (x – 10x) + 12\)

\(Q(x) = -4x^3 + 5x^2 – 9x + 12\)

Bước 4: Sắp xếp Q(x) theo lũy thừa bậc tăng dần

Tương tự như P(x), ta sắp xếp Q(x) từ bậc thấp nhất.

\(Q(x) = 12 – 9x + 5x^2 – 4x^3\)

b) Tính H(x) = P(x) + Q(x); G(x) = P(x) – Q(x)

Bước 1: Tính H(x) = P(x) + Q(x)

Ta cộng các hạng tử đồng dạng của P(x) và Q(x):

\(H(x) = (-12 + 12) + (3x – 9x) + (-7x^2 + 5x^2) + (4x^3 – 4x^3)\)

\(H(x) = 0 – 6x – 2x^2 + 0x^3\)

\(H(x) = -2x^2 – 6x\)

Bước 2: Tính G(x) = P(x) – Q(x)

Ta trừ các hạng tử đồng dạng của P(x) và Q(x). Lưu ý dấu khi trừ:

\(G(x) = (-12 – 12) + (3x – (-9x)) + (-7x^2 – 5x^2) + (4x^3 – (-4x^3))\)

\(G(x) = -24 + (3x + 9x) + (-7x^2 – 5x^2) + (4x^3 + 4x^3)\)

\(G(x) = -24 + 12x – 12x^2 + 8x^3\)

Sắp xếp G(x) theo bậc giảm dần (thường dùng hơn):

\(G(x) = 8x^3 – 12x^2 + 12x – 24\)

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của H(x) và G(x)

Đối với đa thức H(x) = -2x^2 – 6x:

• Hệ số cao nhất: Là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất (\(x^2\)). Hệ số này là -2.
• Hệ số tự do: Là hạng tử không chứa biến x. Trong H(x), không có hạng tử nào không chứa x, nên hệ số tự do là 0.

Đối với đa thức G(x) = 8x^3 – 12x^2 + 12x – 24:

• Hệ số cao nhất: Là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất (\(x^3\)). Hệ số này là 8.
• Hệ số tự do: Là hạng tử không chứa biến x. Hệ số này là -24.

d) Tính H(-1); H(2); G(-1/2); G(0)

Bước 1: Tính H(-1)

Thay \(x = -1\) vào \(H(x) = -2x^2 – 6x\):

\(H(-1) = -2(-1)^2 – 6(-1)\)

\(H(-1) = -2(1) + 6\)

\(H(-1) = -2 + 6 = 4\)

Bước 2: Tính H(2)

Thay \(x = 2\) vào \(H(x) = -2x^2 – 6x\):

\(H(2) = -2(2)^2 – 6(2)\)

\(H(2) = -2(4) – 12\)

\(H(2) = -8 – 12 = -20\)

Bước 3: Tính G(-1/2)

Thay \(x = -1/2\) vào \(G(x) = 8x^3 – 12x^2 + 12x – 24\):

\(G(-1/2) = 8(-1/2)^3 – 12(-1/2)^2 + 12(-1/2) – 24\)

\(G(-1/2) = 8(-1/8) – 12(1/4) – 6 – 24\)

\(G(-1/2) = -1 – 3 – 6 – 24\)

\(G(-1/2) = -34\)

Bước 4: Tính G(0)

Thay \(x = 0\) vào \(G(x) = 8x^3 – 12x^2 + 12x – 24\):

\(G(0) = 8(0)^3 – 12(0)^2 + 12(0) – 24\)

\(G(0) = 0 – 0 + 0 – 24\)

\(G(0) = -24\)

Lưu ý: Khi tính G(0), ta có thể nhận ra ngay đó chính là hệ số tự do của đa thức G(x).

e) Tìm nghiệm của đa thức H(x)

Bước 1: Thiết lập phương trình

Để tìm nghiệm của đa thức H(x), ta cho H(x) bằng 0:

\(H(x) = 0\)

\(-2x^2 – 6x = 0\)

Bước 2: Giải phương trình

Ta có thể giải phương trình này bằng cách đặt nhân tử chung:

\(-2x(x + 3) = 0\)

Bước 3: Tìm các giá trị của x

Tích của hai thừa số bằng 0 khi ít nhất một trong hai thừa số bằng 0:

Trường hợp 1: \(-2x = 0 \Rightarrow x = 0\)

Trường hợp 2: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Kết luận: Nghiệm của đa thức H(x) là \(x = 0\) và \(x = -3\).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành xong bài toán này rồi đó các em! Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các khái niệm và làm từng bước cẩn thận là chúng ta có thể giải quyết mọi bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!