Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá bán bưởi sao cho cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất. Để giải bài này, chúng ta sẽ đi từng bước một, làm thật chậm và dễ hiểu nhé.

Bước 1: Xác định các đại lượng trong bài toán

Trước hết, chúng ta cần làm rõ các thông tin mà đề bài cho biết.

* Giá bán ban đầu mỗi quả bưởi là: 50.000 đồng.
* Số lượng bưởi bán được với giá ban đầu: 40 quả.
* Nếu giảm giá bán mỗi quả 10.000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm: 10 quả.
* Giá nhập ban đầu mỗi quả bưởi: 30.000 đồng.

Bước 2: Xây dựng hàm lợi nhuận

Để tìm lợi nhuận lớn nhất, chúng ta cần xây dựng một hàm biểu diễn lợi nhuận theo giá bán hoặc số lượng bưởi bán được.

Chúng ta có thể gọi:

* \(x\) là số lần cửa hàng giảm giá 10.000 đồng cho mỗi quả bưởi.

Dựa vào \(x\), chúng ta sẽ xác định được:

* Giá bán mới của mỗi quả bưởi:
Giá bán ban đầu là 50.000 đồng.
Mỗi lần giảm giá là 10.000 đồng.
Sau \(x\) lần giảm giá, số tiền giảm là \(10.000x\) đồng.
Vậy, giá bán mới của mỗi quả bưởi là: \(P(x) = 50.000 – 10.000x\) (đồng).

* Số lượng bưởi bán được:
Ban đầu bán được 40 quả.
Mỗi lần giảm giá 10.000 đồng thì số lượng tăng thêm 10 quả.
Sau \(x\) lần giảm giá, số lượng bưởi bán được tăng thêm là \(10x\) quả.
Vậy, tổng số lượng bưởi bán được là: \(Q(x) = 40 + 10x\) (quả).

* Lợi nhuận thu được:
Lợi nhuận được tính bằng: (Giá bán mỗi quả – Giá nhập mỗi quả) * Số lượng bưởi bán được.

Trước hết, ta tính lợi nhuận trên mỗi quả bưởi:
Lợi nhuận trên mỗi quả = Giá bán mới – Giá nhập ban đầu
Lợi nhuận trên mỗi quả = \((50.000 – 10.000x) – 30.000\)
Lợi nhuận trên mỗi quả = \(20.000 – 10.000x\) (đồng).

Bây giờ, ta tính tổng lợi nhuận \(L(x)\) của cửa hàng:
Lợi nhuận \(L(x)\) = (Lợi nhuận trên mỗi quả) * (Số lượng bưởi bán được)
\(L(x) = (20.000 – 10.000x) * (40 + 10x)\)

Để dễ dàng hơn cho việc tìm giá trị lớn nhất, chúng ta sẽ khai triển hàm lợi nhuận này:
\(L(x) = 20.000 40 + 20.000 10x – 10.000x 40 – 10.000x 10x\)
\(L(x) = 800.000 + 200.000x – 400.000x – 100.000x^2\)
\(L(x) = -100.000x^2 – 200.000x + 800.000\)

Đây là một hàm bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), với \(a = -100.000\), \(b = -200.000\), \(c = 800.000\). Vì hệ số \(a\) âm (\(a < 0\)), đồ thị của hàm số này là một parabol quay bề lõm xuống dưới, do đó nó có một điểm cực đại, chính là giá trị lợi nhuận lớn nhất mà chúng ta cần tìm. Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận

Đối với hàm bậc hai \(L(x) = ax^2 + bx + c\) với \(a < 0\), giá trị lớn nhất đạt được tại đỉnh của parabol. Tọa độ \(x\) của đỉnh được tính bằng công thức: \(x = -b / (2a)\) Trong trường hợp của chúng ta: \(a = -100.000\) \(b = -200.000\) Thay vào công thức: \(x = -(-200.000) / (2 * -100.000)\) \(x = 200.000 / -200.000\) \(x = -1\) Hmm, có vẻ hơi lạ khi \(x\) lại là một số âm. Chúng ta cùng xem lại các giả định của mình. Trong bài toán này, \(x\) biểu thị số lần giảm giá. Nếu \(x = -1\), điều đó có nghĩa là cửa hàng tăng giá lên 10.000 đồng. Tuy nhiên, bài toán chỉ đề cập đến việc “giảm giá bán”. Chúng ta cần xem xét xem liệu việc giảm giá có thể dẫn đến lợi nhuận lớn nhất hay không.

Chúng ta hãy quay lại biểu thức lợi nhuận trên mỗi quả: \(20.000 – 10.000x\).
Và số lượng bưởi bán được: \(40 + 10x\).

Để có lợi nhuận, lợi nhuận trên mỗi quả phải lớn hơn 0, tức là:
\(20.000 – 10.000x > 0\)
\(20.000 > 10.000x\)
\(2 > x\)

Đồng thời, số lượng bưởi bán được phải lớn hơn hoặc bằng 0 (thực tế là phải lớn hơn 0 mới có bán).
\(40 + 10x \ge 0\)
\(10x \ge -40\)
\(x \ge -4\)

Như vậy, chúng ta cần xét \(x\) trong khoảng từ -4 đến 2.

Tuy nhiên, đề bài nói rằng “cửa hàng dự định giảm giá bán”. Điều này ám chỉ chúng ta chỉ xem xét trường hợp \(x \ge 0\).

Let’s rethink the interpretation of x. If x represents the number of 10,000 dong decreases, then x must be a non-negative integer or a value that makes sense in terms of price.

Let’s consider a more direct approach using price as the variable.

Let \(P\) be the price of a grapefruit.
The initial price is 50,000 đồng, and 40 grapefruits are sold.
If the price decreases by 10,000 đồng, the quantity increases by 10.

Let \(P_0 = 50,000\) be the initial price.
Let \(Q_0 = 40\) be the initial quantity.
Let \(\Delta P = 10,000\) be the price decrease.
Let \(\Delta Q = 10\) be the quantity increase.

We can express the price \(P\) in relation to the initial price:
\(P = 50,000 – k \times 10,000\), where \(k\) is the number of 10,000 dong decreases.
So, \(k = \frac{50,000 – P}{10,000}\).

The quantity sold \(Q\) can be expressed in relation to the initial quantity:
\(Q = 40 + k \times 10\).

Substitute \(k\):
\(Q = 40 + \left(\frac{50,000 – P}{10,000}\right) \times 10\)
\(Q = 40 + \frac{50,000 – P}{1,000}\)
\(Q = 40 + 50 – \frac{P}{1,000}\)
\(Q = 90 – \frac{P}{1,000}\)

Now, let’s define the profit function \(Profit(P)\) in terms of price \(P\).
Profit per grapefruit = Price – Cost
Profit per grapefruit = \(P – 30,000\)

Total Profit = (Profit per grapefruit) * Quantity
\(Profit(P) = (P – 30,000) \times \left(90 – \frac{P}{1,000}\right)\)

Let’s expand this:
\(Profit(P) = P \times 90 – P \times \frac{P}{1,000} – 30,000 \times 90 + 30,000 \times \frac{P}{1,000}\)
\(Profit(P) = 90P – \frac{P^2}{1,000} – 2,700,000 + 30P\)
\(Profit(P) = -\frac{1}{1,000}P^2 + 120P – 2,700,000\)

This is a quadratic function of \(P\) in the form \(aP^2 + bP + c\), where:
\(a = -\frac{1}{1,000}\)
\(b = 120\)
\(c = -2,700,000\)

Since \(a < 0\), the parabola opens downwards and has a maximum value. The price \(P\) that maximizes the profit is at the vertex of the parabola, given by: \(P = -b / (2a)\) Substitute the values: \(P = -120 / \left(2 \times -\frac{1}{1,000}\right)\) \(P = -120 / \left(-\frac{2}{1,000}\right)\) \(P = -120 / (-0.002)\) \(P = 60,000\) So, the price that maximizes profit is 60,000 đồng. Let's check if this price is reasonable. If the price is 60,000 đồng: This means the price has increased by 10,000 đồng from the initial 50,000 đồng. This doesn't fit the "decrease price" scenario. There might be a misunderstanding in how we interpret "giảm mỗi quả 10.000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 10 quả". This suggests a linear relationship. Let's go back to the first approach and carefully check the calculation. \(L(x) = -100.000x^2 - 200.000x + 800.000\) \(x = -b / (2a) = -(-200.000) / (2 * -100.000) = 200.000 / -200.000 = -1\) The formula for the vertex of a parabola \(y = ax^2 + bx + c\) gives the \(x\)-coordinate where the maximum (or minimum) occurs. Here, \(x\) represents the number of 10,000 đồng reductions.

If \(x = -1\), it means we are applying -1 reduction, which is equivalent to an increase of 10,000 đồng.

Let’s test the values around \(x = -1\).
If \(x = 0\) (no reduction):
Price = 50,000. Quantity = 40.
Profit per fruit = 50,000 – 30,000 = 20,000.
Total Profit = 20,000 * 40 = 800,000 đồng.
This matches \(L(0) = -100.000(0)^2 – 200.000(0) + 800.000 = 800.000\).

If \(x = -1\) (increase by 10,000):
Price = 50,000 – (-1) * 10,000 = 50,000 + 10,000 = 60,000.
Quantity = 40 + (-1) * 10 = 40 – 10 = 30.
Profit per fruit = 60,000 – 30,000 = 30,000.
Total Profit = 30,000 * 30 = 900,000 đồng.
Let’s check \(L(-1) = -100.000(-1)^2 – 200.000(-1) + 800.000 = -100.000 + 200.000 + 800.000 = 900.000\).
This confirms that \(x = -1\) gives the maximum profit.

So, the number of times we apply a 10,000 đồng reduction is -1. This means we should increase the price by 10,000 đồng from the initial price.

Bước 4: Xác định giá bán để thu được lợi nhuận lớn nhất

Chúng ta đã tìm được \(x = -1\) là giá trị mang lại lợi nhuận lớn nhất.
Nhớ lại công thức tính giá bán mới: \(P(x) = 50.000 – 10.000x\).

Thay \(x = -1\) vào:
Giá bán tối ưu = \(50.000 – 10.000 \times (-1)\)
Giá bán tối ưu = \(50.000 + 10.000\)
Giá bán tối ưu = \(60.000\) đồng.

Bây giờ, chúng ta hãy kiểm tra các điều kiện về giá bán và số lượng.
Nếu giá bán là 60.000 đồng:
– Giá nhập ban đầu là 30.000 đồng.
– Lợi nhuận trên mỗi quả là: 60.000 – 30.000 = 30.000 đồng.

Để tính số lượng bưởi bán được, chúng ta dùng công thức \(Q(x) = 40 + 10x\).
Với \(x = -1\), số lượng bưởi bán được là:
Số lượng tối ưu = \(40 + 10 \times (-1)\)
Số lượng tối ưu = \(40 – 10\)
Số lượng tối ưu = 30 quả.

Tổng lợi nhuận lớn nhất sẽ là:
Lợi nhuận lớn nhất = (Lợi nhuận trên mỗi quả) * (Số lượng bưởi bán được)
Lợi nhuận lớn nhất = 30.000 đồng/quả * 30 quả
Lợi nhuận lớn nhất = 900.000 đồng.

Điều này khớp với giá trị lợi nhuận mà chúng ta tính được từ hàm \(L(x)\) tại \(x = -1\).

Kết luận:

Để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất, cửa hàng nên bán bưởi với giá là 60.000 đồng mỗi quả. Lúc này, cửa hàng sẽ bán được 30 quả bưởi và thu về lợi nhuận cao nhất là 900.000 đồng.

Bài toán này cho chúng ta thấy rằng, đôi khi việc tăng giá một chút (thay vì giảm giá như dự định ban đầu) lại có thể mang lại lợi nhuận tốt hơn, tùy thuộc vào mối quan hệ giữa giá bán, số lượng bán được và chi phí.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!