Chào các em học sinh! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về năng suất làm việc rất thú vị nhé. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi, đòi hỏi chúng ta phải tư duy logic và biến đổi linh hoạt.

Chúng ta cùng đọc kĩ đề bài và phân tích từng thông tin một nhé:

Bài 6: Hai đội công nhân nếu làm chung một công việc thì mất 6 ngày. Nếu đội thứ nhất làm 3 ngày và đội thứ hai làm 7 ngày thì hoàn thành được công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội mất bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc.

Phân tích và Định hướng giải:

Dạng bài này thường liên quan đến năng suất (khối lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian, ở đây là 1 ngày). Nếu một đội hoàn thành công việc trong \(x\) ngày, thì mỗi ngày đội đó sẽ làm được \(\frac{1}{x}\) phần công việc.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi ẩn và điều kiện của ẩn

Gọi số ngày để đội thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là \(x\) (ngày).
Gọi số ngày để đội thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là \(y\) (ngày).

Điều kiện: \(x > 0\), \(y > 0\) (số ngày không thể âm hoặc bằng 0).

Bước 2: Biểu diễn năng suất làm việc của mỗi đội

Trong 1 ngày:

• Đội thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (phần công việc).
• Đội thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) (phần công việc).

Bước 3: Lập hệ phương trình từ các giả thiết của bài toán

Theo đề bài, có hai thông tin quan trọng:

Thông tin thứ nhất: “Hai đội công nhân nếu làm chung một công việc thì mất 6 ngày.”

Nếu làm chung, trong 1 ngày cả hai đội làm được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (phần công việc).
Vì làm chung mất 6 ngày để hoàn thành công việc, nên trong 1 ngày họ làm được \(\frac{1}{6}\) (phần công việc).

Từ đó, ta có phương trình thứ nhất:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\) \((1)\)

Thông tin thứ hai: “Nếu đội thứ nhất làm 3 ngày và đội thứ hai làm 7 ngày thì hoàn thành được công việc.”

• Trong 3 ngày, đội thứ nhất làm được: \(3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x}\) (phần công việc).
• Trong 7 ngày, đội thứ hai làm được: \(7 \times \frac{1}{y} = \frac{7}{y}\) (phần công việc).

Tổng số phần công việc hai đội làm được là 1 (tức là hoàn thành toàn bộ công việc).

Từ đó, ta có phương trình thứ hai:

\(\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\) \((2)\)

Chúng ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1 \end{cases}\)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thông thường.

Đặt \(a = \frac{1}{x}\) và \(b = \frac{1}{y}\). (Điều kiện: \(a > 0, b > 0\)).

Hệ phương trình trở thành:

\(\begin{cases} a + b = \frac{1}{6} \quad (I) \\ 3a + 7b = 1 \quad (II) \end{cases}\)

Từ phương trình \((I)\), ta rút \(a\) theo \(b\):
\(a = \frac{1}{6} – b\)

Thế biểu thức của \(a\) vào phương trình \((II)\):
\(3 \left( \frac{1}{6} – b \right) + 7b = 1\)
\(\frac{3}{6} – 3b + 7b = 1\)
\(\frac{1}{2} + 4b = 1\)
\(4b = 1 – \frac{1}{2}\)
\(4b = \frac{1}{2}\)
\(b = \frac{1}{2} \div 4\)
\(b = \frac{1}{8}\)

Bây giờ, thay giá trị của \(b\) vào biểu thức của \(a\):
\(a = \frac{1}{6} – \frac{1}{8}\)
(Quy đồng mẫu số chung là 24)
\(a = \frac{4}{24} – \frac{3}{24}\)
\(a = \frac{1}{24}\)

Bước 5: Tìm lại các giá trị của \(x\) và \(y\)

Vì \(a = \frac{1}{x}\) và \(a = \frac{1}{24}\), suy ra \(x = 24\). (Thỏa mãn điều kiện \(x > 0\)).

Vì \(b = \frac{1}{y}\) và \(b = \frac{1}{8}\), suy ra \(y = 8\). (Thỏa mãn điều kiện \(y > 0\)).

Bước 6: Kết luận

Vậy, nếu làm riêng thì đội thứ nhất mất 24 ngày để hoàn thành công việc, và đội thứ hai mất 8 ngày để hoàn thành công việc.

Các em nhớ kiểm tra lại kết quả bằng cách thay \(x=24\) và \(y=8\) vào các phương trình ban đầu để đảm bảo tính chính xác nhé!

• Phương trình (1): \(\frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{1}{24} + \frac{3}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\). (Đúng)
• Phương trình (2): \(\frac{3}{24} + \frac{7}{8} = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} = \frac{8}{8} = 1\). (Đúng)

Bài giải đến đây là hoàn chỉnh rồi. Thầy hy vọng các em đã nắm rõ cách giải bài toán này!