Chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hình học rất hay và thường gặp. Đây là một dạng bài kết hợp giữa kiến thức về hình chữ nhật và phương trình bậc hai, đòi hỏi chúng ta phải tư duy logic và biến đổi đại số một cách cẩn thận.

Chúng ta cùng xem xét đề bài nhé:

Đề bài: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 28m. Đường chéo của hình chữ nhật dài 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Để giải quyết bài toán này, các em hãy làm theo các bước sau:

Bước 1: Tóm tắt đề bài và Gọi ẩn

Trước hết, chúng ta cần xác định rõ các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm. Sau đó, chúng ta sẽ đặt các biến cho chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

• Mảnh đất là hình chữ nhật.
• Chu vi hình chữ nhật \(= 28\)m.
• Đường chéo hình chữ nhật \(= 10\)m.
• Cần tìm: Chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Chúng ta sẽ gọi:

• Chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là \(a\) (mét). Điều kiện: \(a > 0\).
• Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(b\) (mét). Điều kiện: \(b > 0\).
• Theo quy ước, chiều dài thường lớn hơn hoặc bằng chiều rộng, nên chúng ta có thể thêm điều kiện \(a \ge b\).

Bước 2: Lập hệ phương trình

Dựa vào các thông tin đã cho trong đề bài, chúng ta sẽ thiết lập một hệ phương trình với hai ẩn \(a\) và \(b\).

1. Dựa vào chu vi của hình chữ nhật:

Công thức tính chu vi hình chữ nhật là \(C = 2 \times (chiều dài + chiều rộng)\).

Theo đề bài, chu vi là 28m, vậy ta có phương trình thứ nhất:

\(2 \times (a + b) = 28\)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\(a + b = 14\) (Phương trình 1)

2. Dựa vào đường chéo của hình chữ nhật:

Trong hình chữ nhật, đường chéo, chiều dài và chiều rộng tạo thành một tam giác vuông. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

\((đường chéo)^2 = (chiều dài)^2 + (chiều rộng)^2\)

Theo đề bài, đường chéo là 10m, vậy ta có phương trình thứ hai:

\(a^2 + b^2 = 10^2\)

Hay:

\(a^2 + b^2 = 100\) (Phương trình 2)

Từ đây, chúng ta có một hệ phương trình:

\(\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình này.

Từ Phương trình 1, ta có thể biểu diễn \(a\) theo \(b\) (hoặc ngược lại):

\(a = 14 – b\)

Thay biểu thức của \(a\) vào Phương trình 2:

\((14 – b)^2 + b^2 = 100\)

Triển khai hằng đẳng thức \((14 – b)^2\):

\(14^2 – 2 \times 14 \times b + b^2 + b^2 = 100\)

\(196 – 28b + b^2 + b^2 = 100\)

Gộp các hạng tử đồng dạng:

\(2b^2 – 28b + 196 = 100\)

Chuyển 100 sang vế trái để đưa về dạng phương trình bậc hai:

\(2b^2 – 28b + 196 – 100 = 0\)

\(2b^2 – 28b + 96 = 0\)

Để đơn giản hóa, chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho 2:

\(b^2 – 14b + 48 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai một ẩn \(b\). Chúng ta có thể giải bằng cách dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.

Ở đây, chúng ta có thể nhẩm hoặc dùng công thức. Ta cần tìm hai số có tích bằng 48 và tổng bằng 14. Đó là 6 và 8.

Phương trình có thể phân tích thành:

\((b – 6)(b – 8) = 0\)

Từ đó, ta có hai trường hợp cho giá trị của \(b\):

• Trường hợp 1: \(b – 6 = 0 \Rightarrow b = 6\)
• Trường hợp 2: \(b – 8 = 0 \Rightarrow b = 8\)

Bây giờ, ta tìm giá trị tương ứng của \(a\) cho mỗi trường hợp bằng cách thay \(b\) vào phương trình \(a = 14 – b\).

• Nếu \(b = 6\): \(a = 14 – 6 = 8\).
• Nếu \(b = 8\): \(a = 14 – 8 = 6\).

Theo quy ước chiều dài lớn hơn hoặc bằng chiều rộng (\(a \ge b\)), chúng ta chọn chiều dài là 8m và chiều rộng là 6m.

Bước 4: Kiểm tra lại và Kết luận

Hãy kiểm tra lại kết quả của chúng ta với đề bài:

• Chiều dài \(= 8\)m, Chiều rộng \(= 6\)m.
• Chu vi: \(2 \times (8 + 6) = 2 \times 14 = 28\)m. (Đúng)
• Đường chéo: Áp dụng định lý Pythagoras, \(\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\)m. (Đúng)

Vậy, các giá trị chúng ta tìm được hoàn toàn phù hợp với đề bài.

Kết luận:

Chiều dài của mảnh đất là 8 mét và chiều rộng của mảnh đất là 6 mét.

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp lại có thể giải quyết được bằng cách áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học về chu vi, định lý Pythagoras và giải phương trình bậc hai. Điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài, đặt ẩn đúng và lập hệ phương trình chính xác nhé!

Chúc các em học tốt!