Tìm số cặp giá trị x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình:
\(2x + 3y = 17\)

Nhiều bạn khi nhìn thấy bài toán này có thể sẽ nghĩ ngay đến việc thử từng giá trị của x hoặc y. Tuy nhiên, chúng ta hoàn toàn có thể tìm ra các cặp số một cách có hệ thống mà không cần thử bừa bãi. Bây giờ, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bước 1: Phân tích phương trình và điều kiện

Chúng ta có phương trình \(2x + 3y = 17\). Điều quan trọng ở đây là x và y phải là các số nguyên dương. Điều này có nghĩa là \(x \ge 1\) và \(y \ge 1\).

Bước 2: Biến đổi phương trình để cô lập một ẩn

Để dễ dàng tìm các cặp giá trị, chúng ta sẽ biến đổi phương trình để cô lập một trong hai ẩn. Thông thường, chúng ta sẽ chọn ẩn có hệ số nhỏ hơn hoặc dễ làm việc hơn.

Ta có thể biến đổi phương trình theo x:

\(2x = 17 – 3y\)
\(x = \frac{17 – 3y}{2}\)

Hoặc biến đổi theo y:

\(3y = 17 – 2x\)
\(y = \frac{17 – 2x}{3}\)

Bước 3: Sử dụng điều kiện nguyên dương để giới hạn phạm vi tìm kiếm

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng điều kiện x và y là số nguyên dương để tìm ra các giá trị có thể.

Trường hợp 1: Xét ẩn y

Từ \(x = \frac{17 – 3y}{2}\), vì x là số nguyên dương nên ta có các điều kiện sau:

• \(x \ge 1 \Rightarrow \frac{17 – 3y}{2} \ge 1\)
• \(17 – 3y \ge 2\)
• \(17 – 2 \ge 3y\)
• \(15 \ge 3y\)
• \(y \le 5\)

Mặt khác, vì y là số nguyên dương nên \(y \ge 1\).

Vậy, các giá trị có thể của y là các số nguyên dương từ 1 đến 5, tức là: \(y \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\).

Bước 4: Thay các giá trị có thể của ẩn vào phương trình đã biến đổi và kiểm tra

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt thay các giá trị của y vào biểu thức \(x = \frac{17 – 3y}{2}\) và kiểm tra xem x có phải là số nguyên dương hay không.

• Nếu \(y = 1\):

\(x = \frac{17 – 3 \times 1}{2} = \frac{17 – 3}{2} = \frac{14}{2} = 7\).

Ta thấy \(x = 7\) là số nguyên dương. Vậy cặp (7, 1) thỏa mãn.

• Nếu \(y = 2\):

\(x = \frac{17 – 3 \times 2}{2} = \frac{17 – 6}{2} = \frac{11}{2}\).

Ta thấy \(x = \frac{11}{2}\) không phải là số nguyên. Loại.

• Nếu \(y = 3\):

\(x = \frac{17 – 3 \times 3}{2} = \frac{17 – 9}{2} = \frac{8}{2} = 4\).

Ta thấy \(x = 4\) là số nguyên dương. Vậy cặp (4, 3) thỏa mãn.

• Nếu \(y = 4\):

\(x = \frac{17 – 3 \times 4}{2} = \frac{17 – 12}{2} = \frac{5}{2}\).

Ta thấy \(x = \frac{5}{2}\) không phải là số nguyên. Loại.

• Nếu \(y = 5\):

\(x = \frac{17 – 3 \times 5}{2} = \frac{17 – 15}{2} = \frac{2}{2} = 1\).

Ta thấy \(x = 1\) là số nguyên dương. Vậy cặp (1, 5) thỏa mãn.

Trường hợp 2: Xét ẩn x (Tương tự để kiểm tra lại)

Từ \(y = \frac{17 – 2x}{3}\), vì y là số nguyên dương nên ta có các điều kiện sau:

• \(y \ge 1 \Rightarrow \frac{17 – 2x}{3} \ge 1\)
• \(17 – 2x \ge 3\)
• \(17 – 3 \ge 2x\)
• \(14 \ge 2x\)
• \(x \le 7\)

Mặt khác, vì x là số nguyên dương nên \(x \ge 1\).

Vậy, các giá trị có thể của x là các số nguyên dương từ 1 đến 7, tức là: \(x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\).

Chúng ta có thể thay các giá trị của x vào \(y = \frac{17 – 2x}{3}\) và cũng sẽ thu được các cặp (7, 1), (4, 3), (1, 5).

Bước 5: Kết luận

Qua các bước trên, chúng ta tìm được các cặp giá trị (x, y) nguyên dương thỏa mãn phương trình là:

• (7, 1)
• (4, 3)
• (1, 5)

Vậy, có 3 cặp giá trị (x, y) nguyên dương thỏa mãn phương trình đã cho.

Cách tìm ra từng cặp số mà không phải thử:

Bí quyết ở đây là:

1. Biến đổi phương trình để cô lập một ẩn.
2. Sử dụng điều kiện nguyên dương để giới hạn phạm vi của ẩn đó.
3. Lần lượt thay các giá trị có thể của ẩn vào biểu thức đã biến đổi và kiểm tra tính nguyên dương của ẩn còn lại.

Phương pháp này giúp chúng ta chỉ cần kiểm tra một số lượng giá trị giới hạn, thay vì thử một cách tùy tiện.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách giải các bài toán phương trình nghiệm nguyên dạng này. Nếu có câu hỏi gì, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!