Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán về năng suất, một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán 9 của chúng ta. Dạng bài này yêu cầu chúng ta phải phân tích kỹ đề bài, đặt ẩn hợp lý và xây dựng phương trình một cách chính xác.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 3: Giải bài toán về năng suất (Thợ mỏ)

Đề bài: Một đội thợ mỏ theo kế hoạch khai thác 30 tấn than mỗi ngày. Do cải tiến kĩ thuật nên trên thực tế đội đã khai thác được 42 tấn mỗi ngày, do đó đội không những hoàn thành trước 12 tiếng mà còn làm vượt chỉ tiêu thêm 3 tấn nữa. Hỏi kế hoạch đội cần khai thác bao nhiêu tấn than?

Bước 1: Phân tích bài toán và đặt ẩn

Đây là bài toán về năng suất, tổng sản phẩm và thời gian. Chúng ta cần tìm tổng số tấn than theo kế hoạch.

Gọi \(x\) là tổng số tấn than đội cần khai thác theo kế hoạch (đơn vị: tấn). Điều kiện: \(x > 0\).

Chúng ta sẽ tính thời gian theo kế hoạch và thời gian thực tế, sau đó dùng mối quan hệ về thời gian để lập phương trình.

• Theo kế hoạch:
  • Năng suất dự kiến: 30 tấn/ngày.
  • Tổng sản phẩm dự kiến: \(x\) tấn.
  • Thời gian dự kiến để hoàn thành công việc: \(\frac{x}{30}\) ngày.
• Thực tế:
  • Năng suất thực tế: 42 tấn/ngày.
  • Tổng sản phẩm thực tế: Đội không những hoàn thành kế hoạch mà còn làm vượt chỉ tiêu 3 tấn nữa, nên tổng sản phẩm thực tế là \(x + 3\) tấn.
  • Thời gian thực tế để hoàn thành công việc: \(\frac{x + 3}{42}\) ngày.

Mối quan hệ về thời gian: Đội hoàn thành trước kế hoạch 12 tiếng. Lưu ý rằng năng suất tính theo “ngày”, nên 12 tiếng cần được đổi ra ngày: 12 tiếng = \(\frac{12}{24} = \frac{1}{2}\) ngày = 0,5 ngày.

Như vậy, thời gian dự kiến nhiều hơn thời gian thực tế là 0,5 ngày.

Bước 2: Lập phương trình

Từ phân tích trên, ta có phương trình:

\( \text{Thời gian dự kiến} – \text{Thời gian thực tế} = \text{0,5 ngày} \)

\( \frac{x}{30} – \frac{x + 3}{42} = 0.5 \)

Hoặc:
\( \frac{x}{30} – \frac{x + 3}{42} = \frac{1}{2} \)

Bước 3: Giải phương trình

Để giải phương trình này, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 30, 42 và 2.

\( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)

\( 42 = 2 \times 3 \times 7 \)

\( \text{BCNN}(30, 42, 2) = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210 \)

Nhân cả hai vế của phương trình với 210:

\( 210 \left( \frac{x}{30} – \frac{x + 3}{42} \right) = 210 \times \frac{1}{2} \)

\( \frac{210x}{30} – \frac{210(x + 3)}{42} = 105 \)

\( 7x – 5(x + 3) = 105 \)

Phân phối và bỏ ngoặc:

\( 7x – 5x – 15 = 105 \)

\( 2x – 15 = 105 \)

Chuyển hạng tử tự do sang vế phải:

\( 2x = 105 + 15 \)

\( 2x = 120 \)

Chia cả hai vế cho 2:

\( x = \frac{120}{2} \)

\( x = 60 \)

Bước 4: Kiểm tra và kết luận

Giá trị \(x = 60\) thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).

Kiểm tra lại đề bài:

• Kế hoạch: 60 tấn. Thời gian kế hoạch: \(\frac{60}{30} = 2\) ngày.
• Thực tế: Khai thác 60 + 3 = 63 tấn. Năng suất thực tế: 42 tấn/ngày. Thời gian thực tế: \(\frac{63}{42} = 1.5\) ngày.
• Chênh lệch thời gian: \(2 – 1.5 = 0.5\) ngày, đúng bằng 12 tiếng.

Vậy, kế hoạch đội cần khai thác 60 tấn than là hoàn toàn chính xác.

Đáp số: Kế hoạch đội cần khai thác 60 tấn than.

—

Bài 4: Giải bài toán về năng suất (Xưởng may)

Đề bài: Một xưởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo dự định mỗi ngày may xong 60 áo. Nhưng nhờ cải tiến kĩ thuật, xưởng đã may được 120 áo mỗi ngày. Do đó xưởng không những hoàn thành trước thời hạn 8 ngày mà còn may thêm 240 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu áo mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng họp có 40 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế.

Lưu ý quan trọng: Các em để ý thấy câu cuối của đề bài “mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng họp có 40 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế.” hoàn toàn không liên quan đến phần còn lại của đề bài về xưởng may. Đây có thể là do lỗi trong quá trình biên soạn đề. Vì vậy, chúng ta sẽ bỏ qua phần thông tin không liên quan này và chỉ tập trung giải quyết bài toán về xưởng may nhé!

Bước 1: Phân tích bài toán và đặt ẩn

Tương tự như bài toán trên, đây là bài toán về năng suất, tổng sản phẩm và thời gian. Chúng ta cần tìm tổng số áo theo kế hoạch.

Gọi \(y\) là tổng số áo xưởng cần may theo kế hoạch (đơn vị: áo). Điều kiện: \(y > 0\).

Chúng ta sẽ tính thời gian theo kế hoạch và thời gian thực tế, sau đó dùng mối quan hệ về thời gian để lập phương trình.

• Theo kế hoạch:
  • Năng suất dự kiến: 60 áo/ngày.
  • Tổng sản phẩm dự kiến: \(y\) áo.
  • Thời gian dự kiến để hoàn thành công việc: \(\frac{y}{60}\) ngày.
• Thực tế:
  • Năng suất thực tế: 120 áo/ngày.
  • Tổng sản phẩm thực tế: Xưởng hoàn thành kế hoạch và còn may thêm 240 áo nữa, nên tổng sản phẩm thực tế là \(y + 240\) áo.
  • Thời gian thực tế để hoàn thành công việc: \(\frac{y + 240}{120}\) ngày.

Mối quan hệ về thời gian: Xưởng hoàn thành trước thời hạn 8 ngày.

Như vậy, thời gian dự kiến nhiều hơn thời gian thực tế là 8 ngày.

Bước 2: Lập phương trình

Từ phân tích trên, ta có phương trình:

\( \text{Thời gian dự kiến} – \text{Thời gian thực tế} = \text{8 ngày} \)

\( \frac{y}{60} – \frac{y + 240}{120} = 8 \)

Bước 3: Giải phương trình

Để giải phương trình này, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 60 và 120.

\( \text{BCNN}(60, 120) = 120 \)

Nhân cả hai vế của phương trình với 120:

\( 120 \left( \frac{y}{60} – \frac{y + 240}{120} \right) = 120 \times 8 \)

\( \frac{120y}{60} – \frac{120(y + 240)}{120} = 960 \)

\( 2y – (y + 240) = 960 \)

Phân phối và bỏ ngoặc:

\( 2y – y – 240 = 960 \)

\( y – 240 = 960 \)

Chuyển hạng tử tự do sang vế phải:

\( y = 960 + 240 \)

\( y = 1200 \)

Bước 4: Kiểm tra và kết luận

Giá trị \(y = 1200\) thỏa mãn điều kiện \(y > 0\).

Kiểm tra lại đề bài:

• Kế hoạch: 1200 áo. Thời gian kế hoạch: \(\frac{1200}{60} = 20\) ngày.
• Thực tế: May được 1200 + 240 = 1440 áo. Năng suất thực tế: 120 áo/ngày. Thời gian thực tế: \(\frac{1440}{120} = 12\) ngày.
• Chênh lệch thời gian: \(20 – 12 = 8\) ngày, đúng như đề bài đã nêu.

Vậy, theo kế hoạch phân xưởng phải may 1200 áo là hoàn toàn chính xác.

Đáp số: Theo kế hoạch phân xưởng phải may 1200 áo.

Các em thấy đấy, cả hai bài toán đều có cùng một cách tiếp cận. Điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài, xác định đúng các đại lượng, đặt ẩn hợp lý và biến đổi các mối quan hệ thành phương trình toán học. Sau đó, việc giải phương trình và kiểm tra lại kết quả sẽ giúp chúng ta có được đáp án chính xác nhất.

Chúc các em học tốt!