Chào các em học sinh thân mến!

Thầy/cô rất vui được hướng dẫn các em giải một bài toán thực tế về năng suất sản phẩm. Đây là dạng bài rất phổ biến trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta, giúp các em rèn luyện kỹ năng phân tích đề bài và lập hệ phương trình để giải quyết vấn đề.

Đề bài: Một công xưởng sản xuất một lượng hàng, theo kế hoạch mỗi ngày sản xuất được 380 sản phẩm. Nhưng khi thực hiện, do cải tiến kĩ thuật mỗi ngày công xưởng sản xuất được 480 sản phẩm. Do đó, công xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày và còn vượt mức 20 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch công xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm.

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích bài toán này từng bước một nhé!

1. Phân tích các đại lượng trong bài toán:

• Theo kế hoạch:

  • Năng suất dự kiến (số sản phẩm sản xuất mỗi ngày): \(380\) sản phẩm/ngày.
  • Tổng số sản phẩm dự kiến sản xuất: Đây là điều chúng ta cần tìm, ta sẽ gọi là \(x\) (sản phẩm).
  • Thời gian dự kiến để hoàn thành kế hoạch: Chúng ta sẽ gọi là \(t\) (ngày).

• Theo thực tế:

  • Năng suất thực tế: \(480\) sản phẩm/ngày (do cải tiến kĩ thuật).
  • Thời gian thực tế để hoàn thành công việc: Hoàn thành trước 1 ngày so với kế hoạch, vậy thời gian thực tế là \(t – 1\) (ngày).
  • Tổng số sản phẩm thực tế sản xuất được: Vượt mức 20 sản phẩm so với kế hoạch, vậy tổng số sản phẩm thực tế là \(x + 20\) (sản phẩm).

2. Lập các phương trình từ các mối quan hệ:

Chúng ta sẽ gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn:

Gọi số sản phẩm công xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là \(x\) (sản phẩm). Điều kiện: \(x > 0\).

Gọi thời gian dự kiến để hoàn thành kế hoạch là \(t\) (ngày). Điều kiện: \(t > 1\) (vì thực tế hoàn thành trước 1 ngày).

Dựa vào công thức “Tổng sản phẩm = Năng suất \(\times\) Thời gian”, chúng ta có thể thiết lập hai phương trình:

Phương trình 1 (Theo kế hoạch):

Tổng số sản phẩm \(x\) bằng năng suất dự kiến nhân với thời gian dự kiến.

\(x = 380 \times t\)

Hay: \(x = 380t\) (1)

Phương trình 2 (Theo thực tế):

Tổng số sản phẩm thực tế là \(x + 20\). Năng suất thực tế là \(480\) sản phẩm/ngày. Thời gian thực tế là \(t – 1\) ngày.

Vậy, tổng số sản phẩm thực tế bằng năng suất thực tế nhân với thời gian thực tế.

\(x + 20 = 480 \times (t – 1)\)

Hay: \(x + 20 = 480(t – 1)\) (2)

Bây giờ, chúng ta có một hệ phương trình gồm hai phương trình với hai ẩn \(x\) và \(t\):

\(
\left\{
\begin{array}{ll}
x = 380t \quad (1) \\
x + 20 = 480(t – 1) \quad (2)
\end{array}
\right.
\)

3. Giải hệ phương trình:

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế. Thay biểu thức của \(x\) từ phương trình (1) vào phương trình (2):

Thay \(x = 380t\) vào phương trình \(x + 20 = 480(t – 1)\), ta được:

\(380t + 20 = 480(t – 1)\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình một ẩn \(t\):

Thực hiện phép nhân ở vế phải:

\(380t + 20 = 480t – 480\)

Chuyển các số hạng chứa \(t\) sang một vế, các số hạng không chứa \(t\) sang vế còn lại:

\(20 + 480 = 480t – 380t\)

\(500 = 100t\)

Tìm giá trị của \(t\):

\(t = \frac{500}{100}\)

\(t = 5\)

Vậy, thời gian dự kiến để hoàn thành kế hoạch là 5 ngày. Giá trị này thỏa mãn điều kiện \(t > 1\).

Tiếp theo, chúng ta thay giá trị của \(t = 5\) vào phương trình (1) để tìm \(x\):

\(x = 380t\)

\(x = 380 \times 5\)

\(x = 1900\)

Vậy, theo kế hoạch, công xưởng phải sản xuất 1900 sản phẩm. Giá trị này thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).

4. Kiểm tra lại kết quả:

• Theo kế hoạch:

  Số sản phẩm: 1900 sản phẩm.

  Thời gian: 5 ngày.

  Năng suất: \(1900 \div 5 = 380\) sản phẩm/ngày. (Đúng với đề bài).

• Theo thực tế:

  Thời gian thực tế: Hoàn thành trước 1 ngày, vậy là \(5 – 1 = 4\) ngày.

  Số sản phẩm thực tế: Vượt mức 20 sản phẩm, vậy là \(1900 + 20 = 1920\) sản phẩm.

  Năng suất thực tế: \(1920 \div 4 = 480\) sản phẩm/ngày. (Đúng với đề bài).

Tất cả các điều kiện của bài toán đều được thỏa mãn, vậy lời giải của chúng ta là chính xác.

Kết luận:

Theo kế hoạch, công xưởng phải sản xuất 1900 sản phẩm.

Thầy/cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách trình bày và giải quyết dạng toán năng suất. Hãy thường xuyên luyện tập để nắm vững kiến thức nhé!