Chào các em học sinh lớp 5 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hình học rất thú vị về diện tích hình chữ nhật và các tam giác liên quan nhé. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước thầy (cô) hướng dẫn để hiểu bài thật kỹ nhé!

Đề bài: Cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích \( 240 \text{ cm}^2 \). Trên AB lấy điểm M sao cho AM gấp rưỡi MB. Tính diện tích tam giác ADM. So sánh diện tích tam giác MOC và diện tích AOD. Tính diện tích tam giác AOM.

Trước khi giải, các em hãy thử vẽ hình chữ nhật ABCD và điểm M lên giấy nháp để dễ hình dung hơn nhé. (Lưu ý: Trong bài toán này, nếu điểm O không được định nghĩa, ta sẽ ngầm hiểu O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật).

Bài giải:

Bước 1: Phân tích tỉ lệ đoạn thẳng AM và MB

Đề bài cho biết AM gấp rưỡi MB. “Gấp rưỡi” có nghĩa là gấp 1,5 lần, hay gấp \(\frac{3}{2}\) lần.

Vậy, ta có: \( AM = 1.5 \times MB \) hay \( AM = \frac{3}{2} \times MB \).
Điều này có nghĩa là nếu MB là 2 phần thì AM là 3 phần.

Đoạn thẳng AB được tạo thành từ AM và MB:

\( AB = AM + MB \)
\( AB = \frac{3}{2} \times MB + MB \)
\( AB = (\frac{3}{2} + 1) \times MB \)
\( AB = \frac{5}{2} \times MB \)

Từ đó, ta suy ra tỉ lệ của AM và MB so với AB:

• \( AM = \frac{3}{5} \times AB \)
• \( MB = \frac{2}{5} \times AB \)

Đây là một thông tin rất quan trọng để chúng ta tính toán diện tích các tam giác đó các em!

Bước 2: Tính diện tích tam giác ADM

Để tính diện tích tam giác ADM, chúng ta có thể coi AD là chiều cao và AM là đáy. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD vuông góc với AB, do đó AD cũng vuông góc với AM.

Công thức tính diện tích tam giác là: \( \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \).

Diện tích tam giác ADM là: \( S_{ADM} = \frac{1}{2} \times AM \times AD \).

Mà ta đã biết \( AM = \frac{3}{5} \times AB \). Thay vào công thức diện tích:

\( S_{ADM} = \frac{1}{2} \times (\frac{3}{5} \times AB) \times AD \)
\( S_{ADM} = \frac{3}{10} \times (AB \times AD) \)

Các em có nhớ \( AB \times AD \) chính là gì không? Đúng rồi, đó chính là diện tích hình chữ nhật ABCD!

Vậy, \( S_{ADM} = \frac{3}{10} \times S_{ABCD} \).

Ta có \( S_{ABCD} = 240 \text{ cm}^2 \).

\( S_{ADM} = \frac{3}{10} \times 240 \)
\( S_{ADM} = 3 \times 24 \)
\( S_{ADM} = 72 \text{ cm}^2 \)

Vậy, diện tích tam giác ADM là \( 72 \text{ cm}^2 \).

Bước 3: Xác định điểm O và các tính chất liên quan (để so sánh và tính các diện tích tiếp theo)

Như đã nói ở đầu bài, ta hiểu O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật ABCD.

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và chia hình chữ nhật thành 4 tam giác có diện tích bằng nhau.

Vậy:
\( S_{AOD} = S_{BOC} = S_{AOB} = S_{COD} = \frac{1}{4} \times S_{ABCD} \)

\( S_{AOD} = \frac{1}{4} \times 240 \)
\( S_{AOD} = 60 \text{ cm}^2 \)

Chúng ta sẽ cần giá trị này để so sánh nhé.

Tương tự, \( S_{AOB} = 60 \text{ cm}^2 \).

Bước 4: Tính diện tích tam giác MBC

Tương tự như tam giác ADM, tam giác MBC có đáy MB và chiều cao BC (mà BC = AD).

Diện tích tam giác MBC là: \( S_{MBC} = \frac{1}{2} \times MB \times BC \).

Mà \( MB = \frac{2}{5} \times AB \) và \( BC = AD \). Thay vào công thức diện tích:

\( S_{MBC} = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} \times AB) \times AD \)
\( S_{MBC} = \frac{2}{10} \times (AB \times AD) \)
\( S_{MBC} = \frac{1}{5} \times S_{ABCD} \)

\( S_{MBC} = \frac{1}{5} \times 240 \)
\( S_{MBC} = 48 \text{ cm}^2 \)

Bước 5: Tính diện tích tam giác MBO

Các em hãy nhìn vào tam giác ABO và tam giác MBO.

• Hai tam giác này có chung đỉnh O.
• Đáy của chúng (AB và MB) nằm trên cùng một đường thẳng (đường thẳng AB).
• Do đó, chiều cao hạ từ đỉnh O xuống đáy AB là như nhau.

Vậy, tỉ số diện tích của hai tam giác này sẽ bằng tỉ số giữa hai đáy của chúng.

\( \frac{S_{MBO}}{S_{ABO}} = \frac{MB}{AB} \)

Ta đã biết \( MB = \frac{2}{5} \times AB \), vậy \( \frac{MB}{AB} = \frac{2}{5} \).

Do đó, \( S_{MBO} = \frac{2}{5} \times S_{ABO} \).

Chúng ta đã tính được \( S_{ABO} = 60 \text{ cm}^2 \) ở Bước 3.

\( S_{MBO} = \frac{2}{5} \times 60 \)
\( S_{MBO} = 2 \times 12 \)
\( S_{MBO} = 24 \text{ cm}^2 \)

Bước 6: Tính và so sánh diện tích tam giác MOC và diện tích AOD

Các em hãy nhìn vào tam giác MBC. Điểm O nằm trong tam giác này. Chúng ta có thể tính diện tích tam giác MOC bằng cách lấy diện tích tam giác MBC trừ đi diện tích tam giác MBO.

\( S_{MOC} = S_{MBC} – S_{MBO} \)

Chúng ta đã tính được \( S_{MBC} = 48 \text{ cm}^2 \) (ở Bước 4) và \( S_{MBO} = 24 \text{ cm}^2 \) (ở Bước 5).

\( S_{MOC} = 48 – 24 \)
\( S_{MOC} = 24 \text{ cm}^2 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh diện tích tam giác MOC với diện tích tam giác AOD.

• \( S_{MOC} = 24 \text{ cm}^2 \)
• \( S_{AOD} = 60 \text{ cm}^2 \) (đã tính ở Bước 3)

Rõ ràng là \( 24 \text{ cm}^2 < 60 \text{ cm}^2 \).

Vậy, diện tích tam giác MOC bé hơn diện tích tam giác AOD.

Chúng ta cũng có thể thấy tỉ lệ: \( S_{MOC} = \frac{24}{60} \times S_{AOD} = \frac{2}{5} \times S_{AOD} \).

Bước 7: Tính diện tích tam giác AOM

Các em hãy nhìn vào tam giác ABO. Điểm M nằm trên cạnh AB. Chúng ta có thể tính diện tích tam giác AOM bằng cách lấy diện tích tam giác ABO trừ đi diện tích tam giác MBO.

\( S_{AOM} = S_{ABO} – S_{MBO} \)

Chúng ta đã tính được \( S_{ABO} = 60 \text{ cm}^2 \) (ở Bước 3) và \( S_{MBO} = 24 \text{ cm}^2 \) (ở Bước 5).

\( S_{AOM} = 60 – 24 \)
\( S_{AOM} = 36 \text{ cm}^2 \)

Vậy, diện tích tam giác AOM là \( 36 \text{ cm}^2 \).

Tóm tắt kết quả:

1. Diện tích tam giác ADM là \( 72 \text{ cm}^2 \).
2. Diện tích tam giác MOC là \( 24 \text{ cm}^2 \). Diện tích tam giác AOD là \( 60 \text{ cm}^2 \).
   So sánh: Diện tích tam giác MOC bé hơn diện tích tam giác AOD.
3. Diện tích tam giác AOM là \( 36 \text{ cm}^2 \).

Thật dễ phải không nào? Các em hãy ôn tập lại bài này và các kiến thức về diện tích tam giác, diện tích hình chữ nhật nhé. Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi thầy (cô)!

Chúc các em học tốt!