Chúng ta có đề bài như sau:
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên khác 0 (a, b) biết:

a + b = 210

và ƯCLN(a, b) = 30.

Nào, chúng ta cùng bắt đầu phân tích bài toán này nhé!

Bước 1: Phân tích điều kiện ƯCLN(a, b) = 30

Khi nói ƯCLN(a, b) = 30, điều này có nghĩa là cả số a và số b đều chia hết cho 30.

Vì vậy, chúng ta có thể biểu diễn a và b dưới dạng tích của 30 với một số tự nhiên khác.

Đặt:

a = 30 * x

b = 30 * y

trong đó x và y là các số tự nhiên khác 0. (Vì đề bài yêu cầu a, b khác 0).

Thêm vào đó, một điều kiện rất quan trọng khi sử dụng cách đặt này là ƯCLN(x, y) phải bằng 1. Điều này đảm bảo rằng 30 thực sự là ước chung LỚN NHẤT của a và b. Nếu x và y còn có ước chung khác 1, thì ƯCLN(a, b) sẽ lớn hơn 30.

Bước 2: Sử dụng điều kiện a + b = 210

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế a và b bằng biểu thức đã tìm được ở Bước 1 vào phương trình thứ hai:

(30 x) + (30 y) = 210

Chúng ta có thể đặt 30 ra làm thừa số chung:

30 * (x + y) = 210

Để tìm tổng (x + y), chúng ta chia cả hai vế cho 30:

x + y = 210 / 30

x + y = 7

Bước 3: Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn hai điều kiện

Chúng ta cần tìm các cặp số tự nhiên x và y sao cho:

1. x + y = 7
2. ƯCLN(x, y) = 1
3. x, y là các số tự nhiên khác 0

Chúng ta sẽ liệt kê tất cả các cặp số tự nhiên khác 0 có tổng bằng 7:

• Nếu x = 1, thì y = 7 – 1 = 6. Cặp (1, 6).
• Nếu x = 2, thì y = 7 – 2 = 5. Cặp (2, 5).
• Nếu x = 3, thì y = 7 – 3 = 4. Cặp (3, 4).
• Nếu x = 4, thì y = 7 – 4 = 3. Cặp (4, 3).
• Nếu x = 5, thì y = 7 – 5 = 2. Cặp (5, 2).
• Nếu x = 6, thì y = 7 – 6 = 1. Cặp (6, 1).

Bây giờ, chúng ta kiểm tra điều kiện ƯCLN(x, y) = 1 cho từng cặp:

• Cặp (1, 6): ƯCLN(1, 6) = 1. Thỏa mãn.
• Cặp (2, 5): ƯCLN(2, 5) = 1. Thỏa mãn.
• Cặp (3, 4): ƯCLN(3, 4) = 1. Thỏa mãn.
• Cặp (4, 3): ƯCLN(4, 3) = 1. Thỏa mãn.
• Cặp (5, 2): ƯCLN(5, 2) = 1. Thỏa mãn.
• Cặp (6, 1): ƯCLN(6, 1) = 1. Thỏa mãn.

Như vậy, tất cả các cặp (x, y) thỏa mãn điều kiện đều là: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).

Bước 4: Tìm các cặp số tự nhiên (a, b) tương ứng

Cuối cùng, chúng ta sẽ sử dụng các cặp (x, y) vừa tìm được để tính các cặp (a, b) ban đầu, với a = 30x và b = 30y.

• Với cặp (x, y) = (1, 6):
  a = 30 * 1 = 30
  b = 30 * 6 = 180
  Cặp (a, b) là (30, 180). Kiểm tra: 30 + 180 = 210. ƯCLN(30, 180) = 30. Thỏa mãn.
• Với cặp (x, y) = (2, 5):
  a = 30 * 2 = 60
  b = 30 * 5 = 150
  Cặp (a, b) là (60, 150). Kiểm tra: 60 + 150 = 210. ƯCLN(60, 150) = 30. Thỏa mãn.
• Với cặp (x, y) = (3, 4):
  a = 30 * 3 = 90
  b = 30 * 4 = 120
  Cặp (a, b) là (90, 120). Kiểm tra: 90 + 120 = 210. ƯCLN(90, 120) = 30. Thỏa mãn.
• Với cặp (x, y) = (4, 3):
  a = 30 * 4 = 120
  b = 30 * 3 = 90
  Cặp (a, b) là (120, 90). Kiểm tra: 120 + 90 = 210. ƯCLN(120, 90) = 30. Thỏa mãn.
• Với cặp (x, y) = (5, 2):
  a = 30 * 5 = 150
  b = 30 * 2 = 60
  Cặp (a, b) là (150, 60). Kiểm tra: 150 + 60 = 210. ƯCLN(150, 60) = 30. Thỏa mãn.
• Với cặp (x, y) = (6, 1):
  a = 30 * 6 = 180
  b = 30 * 1 = 30
  Cặp (a, b) là (180, 30). Kiểm tra: 180 + 30 = 210. ƯCLN(180, 30) = 30. Thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, các cặp số tự nhiên khác 0 (a, b) thỏa mãn yêu cầu của đề bài là:

(30, 180), (60, 150), (90, 120), (120, 90), (150, 60), (180, 30).

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúng ta sẽ tiếp tục rèn luyện thêm nhiều bài tập bổ ích nữa.